Тема 2 Диференційованість функції двох змінних

2.1. Частинні та повний прирости функції двох змінних

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним x та y приросту відповідно та так, щоб точка не виходила за межі вказаного околу. Тоді й точки , також належатимуть цьому околу (рис.18).

Рис. 18

Означення. Різницю називають повним приростом функції при переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х, а різницю — частинним приростом за y функції ; їх позначають відповідно і . Таким чином,

,

, .

2.2. Диференційованість функції двох змінних

Означення. Функція називається диференційованою у точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

,

де А, В — числа, ,  — нескінченно малі при .

Головна лінійна частина приросту функції, тобто називається повним диференціалом функції (точніше першим диференціалом) двох змінних у точці і позначається

.

Теорема 12. Якщо функція диференційована в точці , тоді існують границі та і вони дорівнюють відповідно А і В.

Означення. Нехай функція визначена в точці і в її деякому околі. Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною за х (за у) функції у точці і позначається , або , або , . Таким чином, , . Із означення частинних похідних матимемо, що їх шукають за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише пам’ятати, що при знаходженні змінна у вважається сталою, а при знаходженні змінна х вважається сталою.

Тепер можна сформулювати теорему 12 інакше:

Теорема 13. (необхідна умова диференційованості функції у точці).

Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці існують частинні похідні і .

Приклад. Знайти і для функції .

 Знайдемо . Вважаючи, що дістанемо:

.

При знаходженні вважаємо, що Дістанемо:

.

Приклад. Знайти і для функції .

 Знайдемо , вважаючи

Знайдемо , вважаючи

.

Диференціали незалежних змінних збігаються з їхніми приростами: , . Тоді, як випливає із означення повного диференціала і теореми 12, повний диференціал функції можна обчислити за формулою

.

Аналогічно повний диференціал функції трьох аргументів обчислюється за формулою

.

Приклад. Знайти якщо .

 , , .

Отже, .

Приклад. Знайти , якщо .

  , де

;

, отже,

.

Геометричний зміст частинних похідних. Якщо функцію , що має частинні похідні в точці , розглядати за умови , то геометрично це означає, що поверхня перетинається площиною , паралельно координатній площині ; у перерізі дістаємо лінію. Тоді є кутовим коефіцієнтом дотичної до зазначеного перерізу в точці , тобто тангенсом кута нахилу цієї дотичної до додатного напряму осі Ох. Аналогічно, є кутовим коефіцієнтом дотичної, що проходить через точку , до кривої, яка утворюється в результаті перетину поверхні з площиною .

2.3. Достатня умова диференційованості функції двох змінних у точці

Для функції однієї змінної твердження щодо її диференці- йованості та існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми маємо інше: існування частинних похідних — необхідна умова диференційованості функції в точці, але не є достатньою умовою диференційованості: наприклад, для функції

у точці (0; 0): , . Але ця функція розривна в точці (0; 0), а тому функція не може бути диференційованою в цій точці. Таким чином, для диференційованості функції у точці недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі теореми.

Теорема 14. Якщо функція у деякому околі точки має неперервні частинні похідні, тоді вона диференційована в точці .

Теорема 15. Якщо функція диференційована в точці , то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.