2.4. Диференціювання складної функції

Теорема 16. Нехай на множині D визначена складна функція , де , і нехай функції , мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція — неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складна функція диференційована в точці , причому

, .

Приклад. Знайти і для функції .

 Маємо де .

Тоді , , , , , .

Таким чином, , , або після підставляння виразів u і v дістанемо , .

2.5. Дотична площина та нормаль

Якщо функція диференційована в точці , то виконується рівність

або

Узявши в цій наближеній рівності , , дістанемо:

(3)

На формулі (3) ґрунтується алгоритм використання диференціала для наближених обчислень.

Крім того, якщо в рівності (3) взяти , , дістанемо

Це рівняння дотичної площини, що проходить через точку .

Якщо поверхню задано у просторі рівнянням , то рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд:

, (4)

де , , .

Нормаль до поверхні в точці — це пряма, що проходить через точку і перпендикулярна до дотичної площини.

Отже, її рівняння

.

2.6. Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається (рис.19); — довжина відрізка . Границя , якщо вона існує, називається похідною функції за напрямом у точці і позначається .

Рис.19

Зокрема, є похідна функції за додатним напрямом осі Ох, а — похідна функції за додатним напрямом осі Оу.

Похідна за напрямом характеризує швидкість змінювання функції у точці за напрямом .

Теорема 17. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

,

де і — значення частинних похідних функції у точці .

Приклад. Знайти похідну функції у точці (1; 1) за напрямом .

 Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 1) функції

, .

Тоді за формулою похідної за напрямом дістанемо:

.

Приклад. Знайти похідну функції у точці (1; 1) за напрямом бісектриси першого координатного кута.

 Знайдемо значення , у точці (1; 1):

;

.

Отже,

.

Означення. Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції у точці , називається градієнтом функції у цій точці і позначається ( — одиничні орти):

Аналогічно для функції трьох змінних похідна за напрямом подається у вигляді:

Для функції трьох змінних градієнт у точці визначається так:

де — одиничні орти і обчислені в точці .

Похідна за напрямом функції та градієнт пов’язані співвідношенням

Приклад. Знайти градієнт функції у точці (1; 2; –1).

 Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 2; –1):

, ,

.

Тоді .

Приклад. Знайти точки, в яких модуль градієнта функції дорівнює 2.

 Знайдемо і :

, .

Модуль градієнта дорівнює 2 в деякій точці :

.

Отже, , тобто в точках кола з центром у точці (0; 0) і радіусом модуль градієнта заданої функції дорівнює 2.

2.7. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини . Візьмемо будь-яку точку ; у цій точці існують частинні похідні і , які залежать від і , тобто вони є функціями двох змінних. Отже, можна ставити питання про знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначаються так:

або ,

або ,

або ,

або .

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад:

, .

Означення. Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціала першого порядку, тобто .

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків

..........

Приклад. Знайти , якщо .

 

Приклад. Знайти для функції

 

Приклад. Знайти і для функції .

  , ,

, .

У попередньому прикладі ми дістали, що . Виявляється, що ця рівність виконується в більшості випадків, що випливає з такої теореми.

Теорема 18. Якщо функція визначена в області D і в цій області існують перші похідні та , а також другі мішані похідні , , які до того ж як функції від х і у неперервні в точці , то в цій точці .