11 Метод интегральных уравнений

11.1 Метод вторичных источников

Метод позволяет исследовать электрические и магнитные поля в неоднородной среде путём сведения расчётной задачи к расчёту поля в однородной среде. Влияние на поле неоднородностей (диэлек­трических, проводящих и магнитных тел) учитывается введением в поле (в эквивалентную однородную среду) вместо неод­нородностей добавочных (вторичных) источников. В качестве вторичных источников рассматриваются связанные заряды (заряды поляризации), токи намагниченности, наведённые вихревые токи и др. Эти источники вводятся распре­делёнными на границах (по бывшим поверхностям) или в объёме (по объёмам) неодно­родностей и, таким образом, учитывают влияние неоднородностей на характер поля.

Вид вторичных источников и интегральных уравнений, описывающих распределение их плотностей при аналитическом расчёте, предложены Г. А. Гринбергом [5]. В этой работе вводятся расчётные заряды (токи) σ˝, ρ˝, (η˝), равные сумме заданных σ, ρ, (η) и связанных зарядов, т. е. σ˝ = σ + σ', ρ˝ = ρ + ρ', (η˝ = η + η'). Последующее обобщение метода интегральных уравнений проведено в [6]. Получены интегральные уравнения для численных расчётов как статических, так и квазистационарных (от вихревых токов) полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. При этом вместо заданных зарядов и токов рассматриваются плотности фиктивных зарядов и токов (в том числе и фиктивных магнитных зарядов).

При расчёте поля методом интегральных уравнений сначала определяется распределение вторичных источников на границе неоднородных сред, а затем находятся искомые векторы и скаляры поля. Наличие нескольких различных областей в рассматриваемом пространстве (когда область многосвязная) приводит к системе инте­гральных уравнений. Таким образом, первоначально определяются интегральные уравнения, которые должны соответствовать распределению вторичных источников, а затем по уравнениям поля с учётом заданных и вторичных источников решается задача анализа поля. При скачкообразных или непре­рывных изменениях параметров ε _r, μ _r , γ и т. д. инте­гральные уравнения представляют собой систему двух интегральных уравнений относительно функций σ и ρ. В уравнение относительно σ входят коэффициенты , и т. д. Интегральные уравнения, описывающие распределения вторичных источников, решаются с помощью ЭВМ.

11.2 Метод зеркальных изображений

Метод зеркальных изображений аналогичен методу интегральных уравнений, только при его применении дополнительные источники вводятся внутрь каждой из неоднородных сред, тогда как в рассмотренном методе дополнительные источники размещаются на границах неоднородных сред.

11.3 Метод сеток

Метод сеток основан на решении уравнений Лапласа и Пуассона в конечных разностях и относится к численным способам ре­шения уравнений в частных производных и Лапласа . Дифференциальное уравнение при этом приближённо заменяется разностным уравнением для рассматриваемой точки исследуемого поля. В результате получается в общем случае при­ближённое алгебраическое уравнение связи потенциалов указанной точки и соседних точек (рис. 3.10):

;

(3.23)

.

(3.24)

рис. 3.10 графическое пояснение связи потенциалов рас­сматриваемой точки и соседних точек рис. 3.10 графическое пояснение связи потенциалов рас­сматриваемой точки и соседних точек

Уравнения связи решаются численным подбором (см. § 9.1 [2]). Для этого на область исследуемого поля между граничными поверхностями наносится квадратная или полярная координатная сетка, для узлов которой рассчитываются значения потенциалов с подстановкой для каждого узла  _k значений потен­циалов соседних узлов  _a ,  _b ,  _c и  _d . Уравнения (3.23), (3.24) справедливы и для прямоугольной сетки с квадратичными ячейками равного размера и для полярной сетки (рис. 3.11), если радиусы узлов ячеек выбраны в геометрической прогрессии со знаменателем β = 1 + + α ( 1 + α / 2 ). Погрешность при за­мене уравнений Пуассона и Лапласа уравнениями (3.23), (3.24) уменьшается с уменьшением шага сетки.

Для расчёта значений потенциалов для узлов сетки на сетку наносится предполагаемая картина поля с заданием значений потенциалов в узлах и по уравнению связи, полученному из уравнения Лапласа, находятся потенциалы узлов сетки. При первом подсчёте предполагаемые и рассчитанные значения потенциалов могут не совпадать, образуя остаток. Поэтому снова задаются потенциалы в узлах и опять вычисляются их значения. Расчёты проводятся до тех пор, пока значения потенциалов не совпадут или остаток во всех узлах не будет превышать некоторого, заранее за­данного значения, например .

Метод предполагает использова­ние ЭВМ. Он применим в случае граничных поверхностей произвольной формы для дву­мерных, трёхмерных с осевой симметрией и других, более сложных, полей. Метод позволяет найти распределение скалярного потенциала электрических и магнитных полей, а также распределение векторного потенциала магнитного поля. Распределение потенциала методом сеток находится следующим образом.

1) В области поля между граничными поверхностями наносится сетка в соответствующей системе координат и буквами обозначаются её узлы.

2) На сетке приближённо проводятся эквипотенциальные и силовые линии (см. § 13.1 [2]), а затем, с ориентацией на картину поля, задаются значения потенциалов каждого узла сетки.

3) При последовательном задании зна­чений потенциалов для каждого узла составляются уравнения связи (3.23) или, если ρ = 0, уравнения (3.24). При первоначально принятых значениях потенциалов узлов уравнение связи не равно нулю, а равно некоторому числу – остатку, который фиксируется, например, записывается около соответствующего узла.

4) Изменяются потенциалы узлов так, чтобы остаток в уравнениях связи для всех узлов не превышал некоторого, заранее за­данного значения . Для этого самый большой остаток можно уменьшить, например, на 1/4 и, снова задаваясь значениями по­тенциалов узлов, вычислить все остатки. Расчёт повторяется до тех пор, пока остатки не станут равными или меньшими .

Поскольку для расчётов применяется ЭВМ, то система уравнений для узлов записывается в матричной форме.