12 Метод конечных разностей

Метод конечных разностей позволяет получать удовлетворительные решения для многочисленных задач, в частности широко используется при рассмотрении тепловых явлений, но при его применении важное место отводится составлению алгоритма и проведению пробного эксперимента. Интегральные методы недостаточно освоены для задач электротехники, их практическое применение всегда очень сложное и относится к прерогативе специалистов по прикладной и вычислительной математике.

Поэтому для решения большинства задач в электротехнике, а также теплотехнике, механике деформируемого тела и других областях науки и техники, требующих решения задач в частных производных, используется метод конечных элементов. Это обусловлено тем, что, кроме того, что он исходит из соответствующей физической задачи, этот метод обладает большой гибкостью и подходит для описания устройств со сложной геометрией. В связи с этим, а также с ограниченностью объёма курса, в курсе детально рассматривается только метод конечных элементов.

12.1 Метод конечных элементов. Неавтоматизированная и автоматизированная дискретизация магнитной системы

Метод конечных элементов основывается на исследовании глобальной функции, представляющей рассматриваемое явление, например, электромагнитное поле, тепловое поле, деформацию тела, во всех точках анализируемой области. Эта область должна быть предварительно разбита на конечное число смежных подобластей, называемых конечными элементами. Совокупность элементов, которые воспроизводят область, называется ансамблем или геометрической дискретизацией, или просто дискретизацией. Элементы имеют общие узловые точки, в совокупности они опи­сывают форму области. Внутри каждого элемента иско­мая функция аппроксимируется, чаще всего полиномом. Число коэффициентов аппроксимирующего полинома соответствует числу узлов рассматриваемого элемента. Полиномы должны быть такими, чтобы сохранилась непрерывность искомой величины вдоль границ элемента. Коэффициенты полинома выражаются через неиз­вестные значения искомой функции в узлах элемента и в аппроксимирующие полиномы элемента вместо коэф­фициентов вводятся (подставляются) полученные соотношения для коэффициентов (значения искомой функции в узлах элемента) и коэффициенты формы элемента. В результате этого составляется уравне­ние искомой функции в зависимости от узловых значений функции и функции формы элемента [3].

Искомая глобальная функция строится по частям для каждого из этих элементов. Полученная функция должна полностью удовлетворять соответствующим уравнениям в частных производных, дополненным граничными условиями и свойствами непрерывности, вытекающими из анализируемого явления, причём как в отдельном элементе, так и во всей области. В соответствии с рассматриваемыми уравнениями, как правило, можно доказать, что если размеры каждого элемента стремятся к нулю (число элементов стремится к бесконечности), то уравнения в частных производных будут выполняться во всех точках области.

Конечные элементы, используемые для дискретизации рассматриваемой области, обычно группируются по топологическим семействам: сегменты, треугольники, четырёхугольники, тетраэдры, параллелепипеды, призмы и т. п. Тип конечных элементов одновременно указывает их форму, например сегмент, и тип интерполяции, например, для треугольника – три узла с линейной интерполяцией и шесть узлов с параболической интерполяцией. На рис. 4.1 показаны несколько конечных элементов (линейных, поверхностных и объёмных) с номерами их кодов и локальной нумерацией узлов. Коды и нумерация узлов появляются при разбиении на конечные элементы. Перечень узлов содержит метрическую информацию в одной из систем координат: плоскостных или пространственных прямоугольных, полярных, сферических и др. Перечень конечных элементов с использованием кодов содержит в себе топологическую информацию: о разбиении области конечными плоскостными или объёмными элементами и о разбиении границ конечными граничными элементами. Сведения об областях и границах служат для присвоения подобластям физических характеристик, относящихся к участкам и границам. Расположение узлов даёт картину, подобную случаю периодических граничных условий.

После проведения сквозной нумерации узлов и элементов и записи интерполяционного урав­нения для каждого элемента согласно сквозной нумерации всех элементов области получается си­стема уравнений для всей области. Каждое уравнение элемента содержит неизвестное значение искомой функции в узлах элемента и коэффициенты формы элемента. Затем находятся уравнения для узловых значений функции с помощью выбранного метода. Например, узловые значения функции определяются методом минимизации интегральной величины с помощью некоторого функционала методом взвешенных невя­зок, например методом Галеркина или наименьших квад­ратов и др.

Линии	11				сегмент
Поверхности	12		32		треугольник
	22		42		четырёх-угольник
	13		43		Тетраэдр
	23		53		Призма
	33		63		Гексаэдр
Рис. 4.1 Некоторые типы конечных элементов

Внутри каждого элемента функция, моделирующая рассматриваемое явление, представляется интерполирующим полиномом, в зависимости от Функционал представляет собой определённый интеграл , который принимает числовое значение при подстановке каждой конкретной функции F ( х ) в подынтеграль­ное выражение; при этом надо найти такую функцию F ( х ), чтобы при произвольном бесконечно малом её изменении интеграл имел постоянное значение. В методе Галеркина отправной точкой слу­жит само дифференциальное уравнение.неизвестных физических величин в каждой вершине или узле этого элемента.

Основой метода является нахождение распределения узловых физических величин, удовлетворяющих уравнениям в частных производных для рассматриваемого явления, дополненных граничными условиями.

Некоторые применения метода конечных элементов требуют проведения расчётов методом краевых интегралов [3], зависящим от конечных элементов соседней области. Для конечного элемента границы, расположенного на перегородке, имеются два конечных элемента соседних областей: для линейного элемента в двумерной задаче – один справа, другой слева; для поверхностного элемента в трёхмерной задаче – один сверху, другой снизу. Для элемента границы, расположенного на краю области, имеется только один элемент соседней области.

Вся эта информация необходима для решения задачи методом конечных элементов и выражается в соответствующей форме при дискретизации, осуществляемой в зависимости от степени автоматизации одним из четырёх способов: вручную, с помощью ЭВМ, автоматически, адаптивно.

Дискретизация методом конечных элементов вручную непроизводительна и используется практически только при объяснении процесса дискретизации, например в учебном процессе.

Дискретизация методом конечных элементов с помощью ЭВМ благодаря возможностям ЭВМ в вычислительном, символьном, графическом и диалоговом плане существенно производительнее дискретизации вручную. Основные способы разбиения области поля с помощью ЭВМ следующие:

• непосредственное введение конечных элементов;

• введение блоков с их последующим автоматическим делением на конечные элементы;

• введение описания геометрии объекта, деление объекта на блоки с последующим автоматическим делением блоков на конечные элементы [3].

Непосредственное введение конечных элементов состоит в связанном введении координат всех узлов, объединение которых образует элементы, с помощью клавиатуры (точные координаты) или введении изображения (аппроксимированных координат и вершин элементов). Постоянный графический контроль процесса дискретизации позволяет избежать ошибки оператора. Этот метод очень прост в использовании и доступен при обучении. С точки зрения педагогики его важное преимущество состоит в том, что он не скрывает структуру данных конечных элементов. Его основной недостаток – необходимость манипулировать слишком большим объёмом информации, особенно в случае трёхмерного поля.

Введение данных блоками соответствует предварительному делению объекта на подобъекты, предназначенные для разбиения последних на конечные элементы. Описание геометрии этих блоков вводится посредством взаимодействия человека с ЭВМ, подобного взаимодействию при непосредственном введении конечных элементов. Однако при этом число блоков во много раз меньше числа конечных элементов, поэтому описание и введение существенно упрощаются. Как правило, эти блоки топологически очень просты, имеют такую же форму, как и конечные элементы: треугольники и четырёхугольники в двумерных задачах; тетраэдры, призмы и гексаэдры в трёхмерных, и могут быть прямолинейными или криволинейными. Необходимо также уточнить деление сторон блоков. Этой информации достаточно для проведения разбиения до конечных элементов с использованием процедуры, определённой заранее. Метод описания блоками с последующим разбиением на конечные элементы очень часто используется для двух- или трёхмерной дискретизации в соответствующих программах дискретизации. Один из часто используемых вариантов дискретизации блоками состоит в объединении фрагментов с заданными параметрами определённой сеткой и записью в памяти ЭВМ.

При дискретизации вручную и с помощью ЭВМ описание геометрии и локализация областей и границ ведётся на уровне элементов или супер элементов. Дальнейшее развитие метода с ориентацией на более «естественное» разбиение основано на уже существующем геометрическом описании, определяющем взаимодействие супер элементов, полученных методом разбиения блока. В этом случае метрическая и топологическая информация приводят к глобальной модели, которая сначала поблочно преобразуется в модель, а затем разбивается на элементы. Такая стратегия эффективна для реализации двух- или трёхмерной геометрической модели и составления сети методом блоков.