2.7 Сообщающиеся сосуды

Рис.16 - Расчетная схема сообщающихся сосудов

Рассмотрим схему сообщающихся сосудов, заполненных несмешивающимися жидкостями, имеющими различные плотности ₁ и ₂. проведем по границе раздела двух жидкостей в правом колене плоскость равного давления, след которой на схеме –горизонтальная прямая 00. абсолютные давления в точках 1 и 2, как и в любых других точках жидкости, лежащих на этой плоскости, будут одинаковыми (Р₁=Р₂). В соответствии с основным уравнением гидростатики Р₁ и Р₂ могут быть:

Таким образом, высоты столбов жидкостей в сообщающихся сосудах обратно пропорциональны их плотностям.

Если в сообщающиеся сосуды будет налита одна и та же жидкость, то уровни ее в обоих коленах расположатся на одинаковой высоте, так как ₁ = ₂ = . Тогда, в соответствии с уравнением , или h₁=h₂.

Принцип сообщающихся сосудов широко используется в технике, например в измерительных приборах жидкостного типа.

Задача: определим природу давления в верхней точке правого сосуда и его значение, если манометрическое давление в верхней точке левого сосуда Р_м=13 кПа, высота уровней жидкости в левом и правом сосудах – соответственно h₁=600 мм, h₂=450 мм, относительная плотность масла _м=0,88.

_{Р ешение: определяем плотность масла}

_м=_ст=0,88·1000=880 кг/м³.

Проведем на границе раздела воды и ртути плоскость равного давления, след которой на схеме – линия 00. абсолютное давление в точках 1 и 2 будет одинаковым, т.е. ₁ = ₂.

В соответствии с основным уравнение гидростатики получим:

, где

- абсолютное давление жидкостей в верхних точках сосудов. Тогда , откуда

=13000+1000·9.81·0.6-880·9.81·0.45-13600·9.81·(0.6-0.45)=-5010 Па.

Следовательно, в верхней точке правого сосуда – вакуум Р_в=5010 Па.

2.8 Сила давления жидкости на плоские стенки

а) Стенка горизонтальная (дно сосуда)

Рисунок 17

Д авление жидкости р в каждой точке дна одно и то же, так как h = const. По основному уравнению гидростатики:

Р = Р_о + gh.

Тогда сила давления жидкости на дно:

F = РS = (Р_о + gh)S (26)

Точка приложения силы давления жидкости на стенку - точка Д - называется центром давления. В данном случае центр давления ввиду равномерности распределения давления на дно совпал с центром тяжести стенки – точкой С.

б ) Стенка наклонная (рисунок 18)

Так как в данном случае давление нарастает с глубиной, то центр давления находится ниже центра тяжести на величину эксцентриситета е.

Можно показать, что давление в центре тяжести смоченной поверхности стенки будет средним:

Р_С = Р_О + gh_C,

где – глубина погружения центра тяжести стенки под свободной поверхностью жидкости.

Тогда сила давления жидкости на стенку

F = p_CS = (р_О + gh_C)S (27)

Величина эксцентриситета е находится по формуле:

(28)

где I_ХО — момент инерции площади стенки S относительно оси, проходящей через её центр тяжести.

Глубина погружения центра давления (точки Д):

h_Д = h_C + е. (29)

Задача: Определить минимальную массу m груза, способного удержать прямоугольный щит размерами h=3 м, b =2 м в закрытом положении, при уровне воды в канале Н=5 м. Длина рычага, на котором укреплен груз, l=3 м. Щит может поворачиваться в подшипниках вокруг оси 0. Выше оси расположены неподвижные балки, концы которых заделаны в боковые стены канала.

Решение: Сила тяжести минимального груза G может быть найдена из уравнения моментов, составленного относительно оси0; М₀=0 или . Тогда , где

F = gh_CS – сила давления воды на щит;

DO=h_d-KO=h_d-(H-h) – плечо силы F.

Площадь щита S=bh=2·3=6 м².

Расстояние центра тяжести щита от свободной поверхности

Момент инерции щита относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести

Расстояние центра давления от свободной поверхности

Подставляя полученные значения в вышеприведенные формулы, получим:

Тогда

в) Гидростатический парадокс

Сравним несколько сосудов различной формы, имеющих равные площади S плоских круглых днищ (рисунок 19). Все сосуды заполнены одинаковой жидкостью до одинакового уровня Н.

Рисунок 19 — Давление жидкости на днище сосудов различной формы

Казалось бы, что сила давления жидкости на дно будет наибольшей в правом сосуде, а наименьшей — в левом.

Однако, гидростатическое давление на днище во всех трех со­судах равно F₁ = F₂ = F₃ = pgH = const.

В этом и заключается гидростатический парадокс: если разные по форме сосуды с одинаковой площадью дна заполнить одной и той же жидкостью на одинаковую высоту, то сила давления жидкости на дно будет во всех случаях одной и той же.