4. Застосування елементів комбінаторики до знаходження ймовірностей.

Комбінаторика — розділ математики, що займається питаннями про те, скільки комбінацій певного типу можна одержати з даних предметів (елементів).

Як при рішенні завдань із використанням класичного визначення ймовірності, так і надалі можуть нам знадобитися деякі визначення й формули комбінаторики. Приведемо найбільш уживані з них.

Визначення 1. Розміщеннями з п різних елементів по т елементів (т) називаються комбінації, складені з даних п елементів по т елементів, які відрізняються або самими елементами, або порядком елементів.

Наприклад, із трьох елементів а, b, с можна скласти по два елемента наступні розміщення:

ab, ас, be, bа, са, cb.

Число А розміщень із n елементів а_1, а_2, ..., а по т дорівнює (1.1)

Нехай — різні розміщення, що містять т елементів. Будемо ці розміщення будувати послідовно. Спочатку визначимо — перший елемент розміщення. Очевидно, з даної сукупності п елементів його можна вибрати п різними способами. Після вибору першого елемента для другого елемента а_а залишається n - 1 способів вибору й т.д. Так як кожен такий вибір дає нове розміщення, та всі ці вибори можна вільно комбінувати між собою. Тому загальне число розміщень дорівнює зазначеному добутку (1.1).

Приклад 1. Скільки можна скласти сигналів з 6 прапорців різних кольорів, узятих по 2?

Шукане число сигналів А - 6 ∙ 5 = 30.

Визначення 2. Перестановками з п різних елементів називаються розміщення із цих п елементів по n.

Перестановки можна розглядати як окремий випадок розміщень при т = п, тому загальне число перестановок з n елементів дорівнює

Р =n(n-1)(n-2)…3∙2∙1=n! (1...2)

Приклад 2. Скільки трьохзначних чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить у зображення числа тільки один раз?

Шукана кількість трьохзначних чисел Р₃ = 3! = 1∙2∙3 = 6.

Визначення 3. Сполученнями з n різних елементів по т елементів називаються комбінації, складені з даних п елементів по т елементів, які відрізняються хоча б одним елементом.

Відзначимо різницю між сполученнями й розміщеннями: у перших не враховується порядок елементів.

Позначимо через С число сполучень із n елементів по т.

Розглянемо всі допустимі сполучення елементів а_а1 а_а2...а_а . Роблячи в кожному з них m! можливих перестановок їхніх елементів, очевидно, отримаємо загальне число розміщень з п елементів по т. Таким чином, З ; звідси

(1.3)

Формулу (3) можна представити також у вигляді

C володіє очевидною особливістю

яка також вірна й при т = 0, якщо прийняти С = 1.

Цією особливістю зручно користуватися, коли т > .

Числа С є коефіцієнтами у формулі бінома Ньютона

і тому часто називаються біноміальними коефіцієнтами.

Приклад 3. Скількома способами можна вибрати дві деталі з ящика, що містить 10 деталей?

Шукане число способів

При рішенні завдань комбінаторики можна використати наступні правила:

Правило суми. Якщо деякий елемент А може бути обраний із сукупності елементів т способами, а інший елемент В — п способами, то вибрати або А, або В можна т + п способами.

Правило добутку. Якщо елемент А можна вибрати із сукупності елементів т способами й після кожного такого вибору елемент В можна вибрати п способами, то пари елементів (А, В) у зазначеному порядку може бути обрана тп способами.

Ці правила справедливі й для будь-якого кінцевого числа елементів.

Приведемо, нарешті, приклади застосування формул комбінаторики до знаходження ймовірностей подій.

Приклад 4. Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри й, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх наудачу. Яка ймовірність того, що номер набраний правильно?

Дві останні цифри можна набрати способами, а сприяти події М (цифри набрані правильно) буде тільки один спосіб. Тому

Р(М) =

Приклад 5. Партія з 10 деталей містить одну нестандартну. Яка ймовірність, що при випадковій вибірці 5 деталей із цієї партії всі вони будуть стандартними (подію А)?

Тут число всіх випадкових вибірок , а число вибірок, що сприяють події А, є т = С Таким чином, шукана ймовірність

Приклад 6. (Завдання про Генуезьку лотерею*). Розігрується 90 номерів, з яких виграють п'ять. За умовою можна ставити ту або іншу суму на кожній з 90 номерів або на будь-яку сукупність двох, трьох, чотирьох або п'яти номерів. Якщо учасник лотереї ставив на один номер, то він одержував при виграші в 15 разів більше ставки; якщо на два номери (амбо), то в 270 разів більше; якщо на три номери (терн), то в 5500 разів більше; якщо на чотири номери (катерн) - в 75 000 разів більше; якщо на п'ять номерів (квин) - в 1 000 000 разів більше, ніж ставка. Яка ймовірність виграшу в кожному із зазначених п'яти випадків?

У першому випадку ймовірність виграшу виявлялася

у другому, третьому, четвертому й п'ятому випадках ймовірності виграшу були відповідно рівні: