Елементи математичної статистики

§ 4.1. Генеральна сукупність і вибірка

Приступимо до вивчення елементів математичної статистики, в якій розробляються науково обґрунтовані методи збору статистичних даних і їх обробки.

1. Генеральна сукупність і вибірка. Нехай потрібно вивчити безліч однорідних об'єктів (цю множину називають статистичною сукупністю) щодо деякої якісної або кількісної ознаки, що характеризує ці об'єкти. Наприклад, якщо є партія деталей, то якісною ознакою може служити відповідність деталі стандартам, а кількісним — контрольований розмір деталі.

Краще всього здійснити суцільне обстеження, тобто вивчити кожен об'єкт. Проте в більшості випадків з різних причин це зробити неможливо. Перешкоджати суцільному обстеженню може велике число об'єктів, їх недоступність і т.п. Якщо, наприклад, потрібно знати середню глибину воронки при вибуху снаряда з перевіреної партії, то, проводячи суцільне обстеження, ми повинні будемо знищити всю партію.

Якщо суцільне обстеження неможливе, то зі всієї сукупності вибирають для вивчення частину об'єктів.

Статистична сукупність, з якої відбирають частину об'єктів, називається генеральною сукупністю. Безліч об'єктів, випадково відібраних з генеральної сукупності, називається вибіркою.

Число об'єктів генеральної сукупності і вибірки називається відповідно об'ємом генеральної сукупності і об'ємом вибірки.

Приклад. Плоди одного дерева (200 шт.) обстежують на наявність специфічного для даного сорту смаку. Для цього відбирають 10 шт. Тут 200 — об'єм генеральної сукупності, а 10 - об'єм вибірки.

Якщо вибірку відбирають по одному об'єкту, який обстежують і знову повертають в генеральну сукупність, то вибірка називається повторною. Якщо об'єкти вибірки вже не повертаються в генеральну сукупність, то вибірка називається безповторною. На практиці частіше використовується безповторна вибірка. Якщо об'єм вибірки складає невелику частку об'єму генеральної сукупності, то різниця між повторною і безповторною вибірками незначна.

Властивості об'єктів вибірки повинні правильно відображати властивості об'єктів генеральної сукупності, або, як то кажуть, вибірка повинна бути репрезентативною (представницькою). Вважається, що вибірка репрезентативна, якщо всі об'єкти генеральної сукупності мають однакову ймовірність потрапити у вибірку, тобто вибір здійснюється випадково. Наприклад, для того, щоб оцінити майбутній урожай, можна зробити вибірку з генеральної сукупності ще недоспілих плодів і досліджувати їх характеристики (масу, якість і ін.). Якщо вся вибірка буде узята з одного дерева, то вона не буде репрезентативною. Репрезентативна вибірка повинна складатися з випадково вибраних плодів з випадково вибраних дерев.

2. Статистичний розподіл вибірки. Полігон. Гістограма.

Нехай з генеральної сукупності витягнута вибірка, причому х₁ спостерігалося n₁ разів, х₂ - п₂ разів ..., х_k – п_k разів і n₁ + п₂ +... + n_k = n - об'єм вибірки. Досліджувані значення х₁, х₂, ..., х_k називаються варіантами, а послідовність варіант, записана в зростаючому порядку, - варіаційним рядом. Числа спостережень n₁,n₂, ..., п_k називають частотами, а їх відносини до об'єму вибірки , , …, - відносними частотами. Відзначимо, що сума відносних частот дорівнює одиниці:

.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот. Статистичний розподіл можна задати також у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот (безперервний розподіл). Як частота, відповідна інтервалу, приймають суму частот варіант, що потрапили в цей інтервал.

Відмітимо, що в теорії ймовірностей під розподілом розуміють відповідність між можливими значеннями випадкової величини і їх ймовірністю, а в математичній статистиці - відповідність між спостережуваними варіантами і їх частотами або відносними частотами.

Приклад 1. Перейдемо від частот до відносних частот в наступному розподілі вибірки об'єму n = 20:

Варіанта хi	2	б	12
Частота пi	3	10	7

Знайдемо відносні частоти:

Тому отримуємо наступний розподіл:

Варіанта хi	2	6	12
Відносна частота pi*	0,15	0,50	0,35

Для графічного зображення статистичного розподілу використовуються полігони і гістограми.

Для побудови полігону в декартових координатах на осі Ох відкладають значення варіант x_i, на осі Оy - значення частот п_i (відносних частот р_i*).

Приклад 2. Мал. 14 є полігоном наступного розподілу:

Варіанта хi	1	2	3	5
Відносна частота рi*	0,4	0,2	0,3	0,1

Полігоном зазвичай користуються у разі невеликої кількості варіант. У разі великої кількості варіант і у разі безперервного розподілу ознаки частіше будують гістограми. Для цього інтервал, в якому поміщені всі спостережувані значення ознаки, розбивають на декілька часткових інтервалів шириною h і знаходять для кожного часткового інтервалу п_і - суму частот варіант, що потрапили в i -й інтервал. Потім на цих інтервалах як на підставах, будують прямокутники з висотами (або , де n –об’єм вибірки). Площа i -го часткового прямокутника дорівнює

У 7-6-5-4-3-2-1-

О 5 10 15 20 25 30 35 40 x

Рис. 15

(або ). Отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот (або відносних частот), тобто об'єму вибірки (або одиниці).

Приклад 3. Мал. 15 показує гістограму безперервного розподілу об'єму n = 100, заданого наступною таблицею:

Частковий інтервал, h	Сума частот варіант часткового інтервалу, ni
5-10	4	0,8
10-15	6	1.2
15-20	16	3,2
20-25	36	7,2
25-30	24	4.8
30-35	10	2.0
35-40	4	0,8