§ 4.2. Оцінки параметрів генеральної сукупності по її вибірці

1. Вибірка як набір випадкових величин. Нехай є деяка генеральна сукупність, кожен об'єкт якої наділений кількісною ознакою X. При випадковому витяганні об'єкту з генеральної сукупності стає відомим значення х ознаки X цього об'єкту. Таким чином, ми можемо розглядати витягання об'єкту з генеральної сукупності як випробування, X- як випадкову величину, а х - як одне з можливих значень X.

Допустимо, що з теоретичних міркувань вдалося встановити, до якого типу розподілів відноситься ознака X. Природно, виникає завдання оцінки (наближеного визначення) параметрів, якими описується цей розподіл. Наприклад, якщо відомо, що ознака, що вивчається, розподілена в генеральній сукупності нормально, то необхідно оцінити, тобто приблизно знайти математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення, оскільки ці два параметри повністю визначають нормальний розподіл.

Зазвичай у розпорядженні дослідника є лише дані вибірки генеральної сукупності, наприклад значення кількісної ознаки х₁, х₂, .... х_n, отримані в результаті п спостережень (тут і далі спостереження передбачаються незалежними). Через ці дані і виражають оцінюваний параметр.

Досліджені значення ознаки X можна розглядати і як значення різних випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Х_n з тим же розподілом, що і X, і, отже, з тими ж числовими характеристиками, які має X. Значить, М(Х_i) = М(Х) і D(X_i) = D(X). Величини Х₁, Х₂, ..., Х_n можна вважати незалежними через незалежність спостережень. Значення х₁, x₂,..., х_n в цьому випадку називаються реалізаціями випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Х_n. Звідси і з попереднього виходить, що знайти оцінку невідомого параметра - це означає знайти функцію від спостережуваних випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Х_n, яка і дає наближене значення оцінюваного параметра.

2. Генеральна і вибіркова середні. Методи їх розрахунку. Нехай вивчається дискретна генеральна сукупність об'єму N щодо кількісної ознаки X.

Визначення 1. Генеральною середньою (або а) називається середнє арифметичне значень ознаки генеральної сукупності.

Якщо всі значення х₁, х₂, ..., х_N ознаки генеральної сукупності об'єму N різні, то

Якщо ж значення ознаки х₁, х₂, ...., х_k мають відповідно частоти N₁, N₂, ..., N_k, причому N₁ + N₂ +... + N_k = N, то

або

(4.1)

Як вже наголошувалося (п. 1), витягання об'єкту з генеральної сукупності є спостереження випадкової величини X.

Нехай всі значення х₁, х₂, ..., х_N різні. Оскільки кожен об'єкт може бути витягнутий з однією і тією ж ймовірністю 1/N, то

М (X) =

тобто

M(X) = . (4.2)

Такий же підсумок слідує, якщо значення х₁, х₂, ...., х_k мають відповідно частоти N₁, N₂, ..., N_k.

У разі безперервного розподілу ознаки X за визначенням вважають = М(Х).

Нехай для вивчення генеральної сукупності щодо кількісної ознаки X проведена вибірка об'єму n.

Визначення 2. Вибірковою середньою називається середнє арифметичне значень ознаки вибіркової сукупності.

Якщо всі значення х₁, х₂, ..., х_n ознаки вибірки об'єму n різні, то

(4.3)

Якщо ж значення ознаки х₁, х₂, ...., х_k мають відповідно частоти n₁, n₂,…, n_k причому n₁+n₂+…+n_k = n, то

або

(4.4)

Приклад 1. Вибірковим шляхом були отримані наступні дані про масу 20 морських свинок при народженні (у г): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Знайдемо вибіркову середню .

Згідно формулі (4.4), маємо:

Отже = 30.

Далі, не зменшуючи спільності міркувань, рахуватимемо значення х₁, х₂, ..., х_n ознаки різними.

Зрозуміло, вибіркова середня для різних вибірок того ж об'єму n з тієї ж генеральної сукупності виходитиме, взагалі кажучи, різною. І це не дивно - адже витягання i-го по рахунку об'єкту є спостереження випадкової величини X_і, а їх середнє арифметичне

є теж випадкова величина.

Таким чином, всілякі виходячі вибіркові середні є можливі значення випадкової величини , яка називається вибірковою середньою випадковою величиною.

Знайдемо М( ), користуючись тим, що M(X_і) = М(Х) (див. п. 1).

З урахуванням властивостей математичного очікування (див. гл. II) отримуємо:

Отже, М( ) (математичне очікування вибіркової середньої) співпадає з а (генеральною середньою).

Тепер знайдемо D( ). Оскільки D(X_і)= D(X) (п. 1) і Х₁, Х₂, ..., Х_n незалежні, то, згідно властивостям дисперсії (див. гл. II), отримуємо

тобто

(4.5)

Нарешті, відзначимо, що якщо варіанти х_і - великі числа, то для полегшення обчислення вибіркової середньої застосовують наступний прийом. Нехай С- константа.

Оскільки

то формулу (4.3) можна перетворити до вигляду

(4.6)

За константу С (так званий помилковий нуль) беруть деяке середнє значення між найменшим і найбільшим значеннями x_і (i=1, 2 ..., n).

Приклад 2. Є вибірка:

x₁ = 71,88; х₂ = 71,93; х₃ = 72,05; х₄ = 72,07;

х₅ = 71,90; х₆ = 72,02; х₇ =71,93; х₈ = 71,77;

х₉ = 72,11; х₁₀ = 71,96.

Потрібно знайти .

Візьмемо С =72,00 і обчислимо різниці :

= -0,12; = -0,07; = 0,05; = 0,07;

=-0,10; = 0,02; = -0,07; = -0,23;

= 0,11; = -0,04.

Їх сума: = -0,38; їх середнє арифметичне

= -0,038 ≈ -0,04. Вибіркова середня

= 72,00-0,04 = 71,96.

3. Генеральна і вибіркова дисперсії. Для того, щоб охарактеризувати розсіяння значень кількісної ознаки X генеральної сукупності навколо свого середнього значення, вводять наступну характеристику - генеральну дисперсію.

Визначення 1. Генеральною дисперсією D_r називається середнє арифметичне квадратів відхилень значень ознаки X генеральної сукупності від генеральної середньої .

Якщо всі значення х₁, х₂, ..., х_N ознаки генеральної сукупності об'єму N різні, то

Якщо ж значення ознаки х₁, х₂, ...., х_k мають відповідно частоти N₁, N₂, ..., N_k, причому N₁ + N₂ +... + N_k = N, то

(4.7)

Приклад 1. Генеральна сукупність задана таблицею розподілу:

xi	2	4	5	6
Ni	8	9	10	3

Знайдемо генеральну дисперсію.

Згідно формулам (4.1) і (4.7), маємо:

Генеральним середнім квадратичним відхиленням (стандартом) називається

Хай всі значення х1, х2, ..., хN різні.

Знайдемо дисперсію ознаки X, що розглядається як випадкова величина:

Оскільки М(Х) = і Р{Х = х_i} = (див. п. 2), то

тобто

Таким чином, дисперсія D(X) рівна D_r.

Такий же підсумок можна отримати, якщо значення х₁, х₂, ...., х_k мають відповідно частоти N₁, N₂, ..., N_k.

У разі безперервного розподілу ознаки X за визначенням вважають

D_r = D(X). (4.8)

З урахуванням формули (4.8) формула (4.5) (п. 2) перепишеться у вигляді

звідки або . Величина називається середньою квадратичною помилкою.

Для того, щоб охарактеризувати розсіяння спостережуваних значень кількісної ознаки вибірки навколо свого середнього значення вводять вибіркову дисперсію.

Визначення 2. Вибірковою дисперсією D_B називається середнє арифметичне квадратів відхилень спостережуваних значень ознаки X від вибіркової середньої .

Якщо всі значення х₁, х₂, ..., х_n ознаки вибірки об'єму n різні, то

(4.9)

Якщо ж значення ознаки х₁, х₂, ...., х_k мають відповідно частоти n₁, n₂,…, n_k, причому n₁ + n₂ + ... + п_k=п, то

(4.10)

Приклад 2. Хай вибіркова сукупність задана таблицею розподілу:

xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Знайдемо вибіркову дисперсію. Згідно з формулами (4.4) і (4.10), маємо:

Вибірковим середнім квадратичним відхиленням (стандартом) називається квадратний корінь з вибіркової дисперсії:

В умовах прикладу 2 отримуємо, що

Далі, не зменшуючи спільності міркувань, рахуватимемо значення х₁, х₂, ..., х_n ознаки різними.

Вибіркову дисперсію, що розглядається нами як випадкова величина, позначатимемо :

Теорема. Математичне очікування вибіркової дисперсії дорівнює ((n-1)/n)D_r, тобто

Доведення. З урахуванням властивостей математичного очікування (див. гл. II) отримуємо

Обчислимо один доданок . Маємо

Обчислимо окремо ці математичні сподівання.

Згідно властивості 1 дисперсії (див. гл. II) і формулам (4.2), (4.8) маємо

Далі, з урахуванням властивості 4 математичного сподівання (див. гл.II)

але доданок цієї суми, у якого другий індекс рівний i, тобто М(X_iX_i), дорівнює . У решти всіх складових М(X_iX_j) індекси різні. Тому через незалежність X_i і X_j (див. гл. II)

Оскільки є n -1 таких доданків, то

Через властивість 1 дисперсії (див. гл. II) отримуємо

Нами вже знайдений (див. пп. 2 і 3):

Тому,

Таким чином,

і не залежить від індексу підсумовування i. Тому

що і потрібно було довести.

На закінчення цього пункту відзначимо, що якщо варіанти х_і - великі числа, то для полегшення обчислення вибірковій дисперсії D_В формулу (4.9) перетворять до наступного вигляду:

(4.11)

де С - помилковий нуль.

Дійсно, з урахуванням формули (4.3) маємо

звідки

П р и к л а д 3. Для вибірки, вказаної в прикладі 2 з п. 2, знайдемо D_B (помилковий нуль залишається тим самим С =72,00)

∑(x_i-C)²= ∑α_i²=0144 + 0,0049 + 0,0025 + 0,0049 + 0,0100 + 0,0004 + 0,0049 + 0,0529 + 0,0121 + 0,0016 = 0,1086;

(х_b-С)² = (-0,038)² = 0,0014.

Нарешті, згідно формулі (4.11) D_b≈1/10*0,1086 - 0,0014 = 0,0094.

4. Оцінки параметрів розподілу. Одним із завдань статистики є оцінка параметрів розподілу випадкової величини X за даними вибірки. При цьому в теоретичних міркуваннях вважають, що генеральна сукупність нескінченна. Це робиться для того, щоб можна було переходити до межі при n→∞, где n — об'єм вибірки. Для оцінки параметрів розподілу X з даних вибірки складають вирази, які повинні служити оцінками невідомих параметрів. Наприклад X(див. п. 2) є оцінкою генеральної середньої, а Ŝ ² (див. п. 3) — оцінкою генеральної дисперсії D_r. Позначимо через Θ оцінюваний параметр, через Θ_n— оцінку цього параметра [Θ_n - є виразом складеним з Х₁, Х₂, …., Х_n (см. п. 1)]. Для того, щоб оцінка Θ_n давала хороше наближення, вона повинна задовольняти певним вимогам. Вкажемо ці вимоги. Незміщеною називають оцінку Θ_n, математичне очікування якої рівне оцінюваному параметру Θ, т. е. M(Θ_n) = Θ, інакше оцінка називається зміщеною.

Приклад 1. Оцінка X є незміщеною оцінкою генеральної середньої а, оскільки М(Х) = а (див. п. 2).

Приклад 2. Оцінка S² є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії D, оскільки, згідно встановленій вище теоремі (див. п. 3),

M(S²)=n-1/n*D_r≠D_r

Приклад 3. Разом з вибірковою дисперсією S² розглядають ще так звану виправлену дисперсію S² = n-1/n*S², яка є також оцінкою генеральної дисперсії. Для S² с обліком встановленої вище теореми (див. п. 3) маємо M(S²) =M(n-1/n*S²)= n-1/n*M(S²⁾= n/n-1*n-1/n*D_r=D_r.

Таким чином, оцінка S² на відміну від оцінки S² є незміщеною оцінкою генеральної дисперсії. Явний вираз дляS² має вигляд

S² = n/n-1* S²= n/n-1*1/n∑(X_i-X)²=1/n-1*∑(X_i-X)²

тобто

S²= n/n-1*∑(X_i-X)² (4.12)

Природно як наближений невідомий параметр брати незміщені оцінки для того, щоб не робити систематичної помилки у бік завищення або заниження.

Спроможною називають таку оцінку Θ_n параметра Θ, що для будь-якого наперед заданого числа ε>0 ймовірність Р{| Θ_n - Θ |< ε } при n→∞ прагне до одиниці. Це означає, що при ймовірності, близькій до одиниці, можна стверджувати, що оцінка Θ_n відрізняється від оцінюваного параметра Θ менше, чим на ε.

Очевидно, таку вимогу повинна задовольняти всяка оцінка, придатна для практичного використання.

Відмітимо, що незміщена оцінка Θ_n буде спроможною, якщо при n→∞ її дисперсія прагне до нуля: D(Θ_n) → 0. Це витікає з нерівності Чебишева ((2.33) див. § 2.8, п. 1).

Приклад 4. Як було встановлено (див. п. 3) D(Х) = D_r /n. Звідси витікає, що незміщена оцінка X є і спроможною, оскільки

limD(X)=lim D_r /n= D_r lim1/n=0

Можна показати, що незміщена оцінка S² є також спроможною. Тому як оцінку генеральної дисперсії приймають виправлену дисперсію. Відмітимо, що _E оцінки S² и S² відрізняються множником n/n-1, який прагне до 1 при n→∞. На практиці S² и S² не розрізняють при n>30.

Для оцінки генерального середнього квадратичного відхилення використовують виправлене середнє квадратичне відхилення, яке рівне квадратному кореню з виправленої дисперсії:

S=√n/n-1∑(X_i-X)² (4.13)

Ліві частини формул (4.12), (4.13), в яких випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_n замінені їх реалізаціями х₁, х₂, ..., х_n и X —вибірковою середньою x_B, позначатимемо відповідно через і s.

Відзначимо, що якщо варіанти — великі числа, то для полегшення

обчислення формулу для аналогічно формулі (4.9) перетворять до вигляду

, (4.14)

де С-помилковий нуль.

Оцінки, що володіють властивостями несумісності і спроможності, при обмеженому числі дослідів можуть відрізнятися дисперсіями.

Ясно, що чим менше дисперсія оцінки, тим менше ймовірність грубої помилки при визначенні наближеного значення параметра. Тому необхідно, щоб дисперсія оцінки була мінімальною. Оцінка, що володіє такою властивістю, називається ефективною. З відмічених вимог, що пред'являються до оцінки, найбільш важливими є вимоги несумісності і спроможності.

Приклад 5. З плодового дерева випадковим чином відібрано 10 плодів. Їх маси (у грамах) записані в першій колонці приведеної нижче таблиці. Обробимо статистичні дані вибірки. Для обчислення и s по формулах (4.6) и (4.14) введемо помилковий нуль С= 250 і всі необхідні при цьому обчислення зведемо у вказану таблицю:

	i	х,	х,-С	(х,-СГ)2
	і	225	-25	625
	2	274	24	576
	3	305	55	3025
	4	253	3
	5	220	-30	900
	6	245	-5	25
	7	211	г39	1521
	8	234	-16	256
	9	230	-20	400
	10	231	-19	261
Сумма		-,	-72	7598

Отже

s= =28

Звідси s/ = 9 (г).

Отже, оцінка генеральної середньої маси плоду рівна 243 г з середньою квадратичною помилкою 9 р.

Оцінка генерального середнього квадратичного відхилення маси плоду рівна 28 р.

П р и к л а д 6. Через кожну годину вимірювалася напруга в електромережі. Результати вимірювань (у вольтах) представлені в наступній таблиці:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
X,	222	219	224	220	218	217	221	220	215	218	223	225
i	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
х,	220	226	221	216	211	219	220	221	222	218	221	219

Знайти оцінки для математичного очікування і дисперсії результатів вимірювань.

Оцінки для математичного очікування і дисперсії знайдемо по формулам (6) і (14), позначивши С=220. Всі необхідні обчислення приведені у нижченаведеній таблиці:

i	х,-С	(xi-C)2	i	xi-C	(xi-C)2	i	xi-C	(xi-C)2
1	2	4	9	-5	25	17	1	1
2	-1	1	10	-2	4	18	-1	1
3	4	16	11	3	9	19	0	0
4	0	0	12	5	25	20	1	1
5	-2	4	13	0	0	21	2	4
6	-3	9	14	6	36	22	-2	4
7	1	1	15	1	1	23	1	1
8	0	0	16	-4	16	24	-1	1
Сумма	1	35		4	116		1	13

Отже

(B)

=7.06 (B²)