§ 2.2. Математичне сподівання дискретної випадкової величини

1. Поняття математичного сподівання. Закон розподілу повністю задає дискретну випадкову величину. Однак часто зустрічаються випадки, коли закон розподілу випадкової величини невідомий. У таких випадках випадкову величину вивчають за її числовими характеристиками. Однією з таких характеристик є математичне сподівання.

Нехай деяка дискретна випадкова величина X з кінцевим числом своїх значень задана законом розподілу:

X	x1	x2	…	xn
p	р1	р2	…	pn

В и з н а ч е н н я. Математичним сподіванням М(Х) дискретної випадкової величини X називається сума добутків всіх можливих значень величини X на відповідні ймовірності:

(2.1)

М(Х) = x₁p₁ + х₂р₂ + ... + х_nр_n

П р и к л а д. Знайдемо математичне сподівання виграшу X у прикладі з § 2.1 (п. 2).

Використовуючи отриману там таблицю, маємо

М(Х) = 0 ·0,9889 + 1 · 0,01 + 100 · 0,001 + 1000 · 0,0001 = 0,21 (грн.).

Очевидно, М(Х) = 21 коп. є справжньою вартістю одного лотерейного квитка.

Т е о р е м а. Математичне сподівання дискретної випадкової величини X приблизно дорівнює середньому арифметичному всіх її значень (при досить великій кількості випробувань).

Д о в е д е н н я. Припустимо, що зроблено п випробувань, у яких дискретна випадкова величина X прийняла значення x₁, ..., х_k відповідно т₁, ..., т_k раз, так що т₁ + ... + т_k = п. Тоді середнє арифметичне всіх значень, прийнятих величиною X, буде виражатися рівністю

xср =	x1m1 + x2m2 + ... + xkmk
	n

або

xср = x1	m1	+ x2	m2	+ ... + xk	mk
	n		n		n

Так як коефіцієнт т_i/п є відносною частотою події «величина Х прийняла значення х_i» (i=1, 2, ..., k), то

x_ср = x₁p₁* + x₂p₂* +... + x_kp_k*.

Зі статистичного визначення ймовірності витікає те, що при досить великій кількості випробувань p_i* p_i (i = 1, 2, ..., k). Тому

x_ср x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_kp_k,

або

x_ср М(Х).

Таким чином, математичне сподівання випадкової величини можна приблизно вважати її середнім значенням, що й роблять на практиці.

Звернемося тепер до механічної інтерпретації математичного сподівання дискретної випадкової величини X. Нехай на осі абсцис розташовані точки з абсцисами х₁, х₂, ..., х_n, у яких зосереджені відповідно маси р₁, р₂, .., p_n, причому р₁ + р₂ + ...+ p_n = 1. Тоді математичне сподівання М(Х), обумовлене формулою (2.1), є ні що інше, як абсциса центра мас даної системи матеріальних точок.

2. Властивості математичного сподіванняя дискретної випадкової величини.

1. Математичне сподівання (МС) постійної величини С дорівнює цій величині.

Сталу С можна розглядати як дискретну випадкову величину, що приймає лише одне значення С з імовірністю р = 1. Тому М(З)= С·1=С.

2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання, тобто М(СХ)= М(Х).

Використовуючи співвідношення (2.1), маємо:

М(СХ) = Сх₁р₁ + Сх₂р₂ + ... + Сх_nр_n =

= C(x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n) = СМ(Х).

3. Математичне сподівання суми двох випадкових величин X й Y дорівнює сумі їхніх математичних сподівань:

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

Д о в е д е н н я. Нехай X й Y мають закони розподілу:

(2.2)

X х₁ х₂ Y y₁ y₂

p р₁ р₂ p q₁ q₂

Для спрощення доведення ми обмежуємося лише двома можливими значеннями кожної з випадкових величин (у загальному випадку доведення аналогічне).

Складемо всі можливі значення величини Х + Y, для чого до кожного можливого значення X додамо кожне можливе значення Y; одержимо х₁ + у₁, х₁ + у₂, х₂ + у₁, і х₂ + у₂ (їхні ймовірності позначимо відповідно через р₁₁, р₁₂, р₂₁ і р₂₂).

Доведемо, що р₁₁ + р₁₂ = р₁. Подія, що полягає у тому, що X прийме значення х₁ (його ймовірність дорівнює р₁), спричиняє подію, що полягає у тому, що X + Y прийме значення х₁ + у₁ або х₁ + у₂ (імовірність цієї події по теоремі додавання ймовірностей несумісних подій (див. § 1.3, п. 1) дорівнює р₁₁ + р₁₂). Тому р₁₁ + р₁₂ = р₁. Аналогічно доводяться рівності р₁₁ + р₂₁ = q₁ ; р₂₁ + р₂₂ = p₂ ; р₁₂ + р₂₂ = q₂.

Нарешті, відповідно до формули (2.1), маємо

М(Х + Y) = (х₁ + у₁)р₁₁ + (х₁ + у₂)р₁₂ + (х₂ + у₁)р₂₁ + (х₂ + у₂)р₂₂ =

= х₁(р₁₁ + р₁₂) + х₂(р₂₁ + р₂₂) + y₁(р₁₁ + р₂₁) + y₂(р₁₂ + р₂₂) =

= х₁р₁ + х₂р₂ + y₁q₁ + y₂q₂ = М(Х) + M(Y).

В и з н а ч е н н я. Випадкові величини X й Y називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, яке можливе значення прийняла інша величина.

Прикладом двох незалежних випадкових величин можуть служити суми виграшів по кожному із двох лотерейних квитків по двох різних грошово-речових лотереях. Тут, розмір виграшу по квитку однієї лотереї, що став відомим, не впливає на очікуваний розмір виграшу й відповідну йому ймовірність по квитку іншої лотереї.

Кілька випадкових величин називаються незалежними, якщо закон розподілу будь-якої з них не залежить від того, які можливі значення прийняли інші випадкові величини.

4. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X й Y дорівнює добутку їхніх математичних сподівань:

М(ХY) = М(Х)М(Y).

Нехай незалежні випадкові величини Х і Y задані законами розподілу (2.2). Для спрощення викладень ми обмежуємося лише двома можливими значеннями кожної з випадкових величин (у загальному випадку доведення аналогічне).

Складемо всі можливі значення величини XY: х₁у₁, х₁у₂, х₂у₁, х₂у₂ (їхні ймовірності позначимо відповідно через р₁₁, р₁₂, р₂₁, р₂₂).

По теоремі множення ймовірностей незалежних подій (див. § 1.3, п. 2) імовірність того, що XY прийме значення х₁у₁, дорівнює добутку ймовірностей таких подій: X приймає значення х₁ a Y - значення у₁, тобто р₁₁ = p₁q₁. Аналогічно р₁₂ = p₁q₂, р₂₁ = p₂q_1, р₂₂ = p₂q_2.

Відповідно до формули (2.1), одержимо:

М(ХY) = х₁у₁р₁q₁ + х₁у₂р₁q₂ + х₂у₁р₂q₁ + х₂у₂р₂q₂ =

= х₁р₁(у₁q₁ + у₂q₂) + х₂р₂(у₁q₁ + у₂q₂) = (х₁р₁ + х₂р₂)(y₁q₁ + y₂q₂) =

= М(Х)M(Y).

Наслідком властивостей 2 й 3 є властивість 5.

5. Математичне сподівання різниці двох випадкових величин X й Y дорівнює різниці їхніх математичних сподівань:

М(Х - Y) = М(Х) - М(Y).

П р и м і т к а 1. Властивості 3 й 4 мають місце для будь-якого кінцевого числа випадкових величин.

П р и м і т к а 2. Якщо безліч можливих значень дискретної випадкової величини X нескінченно, то математичне сподівання М(Х) визначається сумою числового ряду

М(Х) =

за умови, що цей ряд абсолютно сходиться. Перераховані властивості математичного сподівання залишаються в силі (див. [2]) і для таких випадкових величин.

П р и к л а д 1. Знайдемо математичне сподівання випадкової величини Z = X + 2Y, якщо відомі математичні сподівання випадкових величин Х і Y: М(Х) = 5, М(Y) = 3.

Використовуючи властивості 3 й 2 математичного сподівання, одержимо:

M(Z) = M(X + 2Y) = М(Х) + М(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 ∙ 3 = 11.

П р и к л а д 2. Знайдемо математичне сподівання випадкової величини Z = 2X - Y, якщо задані математичні сподівання випадкових величин Х і Y: M(X) = 4; M(Y) = 6.

Використовуючи властивості 5 й 2 математичного сподівання, одержуємо:

M(Z) = М(2Х - Y) = М(2Х) - M(Y) = 2M(X ) - M(Y) = 2 ∙ 4 - 6 = 2.

П р и к л а д 3. Нехай незалежні випадкові величини задані законами розподілу:

	X			1			2
	р			0,2			0,8

Y	0,5	1
p	0,3	0,7

Потрібно знайти математичне сподівання випадкової величини XY.

Спочатку знайдемо математичні сподівання кожної з даних величин:

M(X) = l ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,8 = 1,8;

М(Y) = 0,5 ∙ 0,3 +1 ∙ 0,7 = 0,15 + 0,7 = 0,85.

Випадкові величини X й Y незалежні, тому шукане математичне сподівання

M(XY) = M(X)M(Y) = 1,8 ∙ 0,85 = 1,53.