37. Приближенное число. Абсолютная и относи­тельная погрешности. Виды, основные источники, способы устранения погрешностей.

Часто при измерении вместо числа А приходится использовать другое число В. Число А будем называть точным значением, а число В приближенным значением измеряемой величины.

Число В называют приближенным числу A, если В незначительно отличается от A и заменяет его в вычислениях. Ошибкой называют разность R=А-В (в некоторых учебниках R=В-A). Имеем A=В+R, т.е. для получения точного значения к приближенному числу нужно добавить ошибку. Ошибка измерений может быть положительной и отрицательной. Если R>0, то В приближается к А по недостатку. Если R<0, то В приближается к А по избытку. Точное число – это приближенное число с ошибкой равной 0. Обычно точное значение А неизвестно, значит не известно ни значение ошибки R, ни ее знак. В этом случае используется понятие абсолютной погрешности числа.

Абсолютной погрешностью замены величины А числом В называется любое число Д, удовлетворяющее условию: Д>=R. Очевидно, что, если известна некоторая абсолютная погрешность замены А на В, то любое большее число абсолютной погрешности также можно считать абсолютной погрешностью этой замены. Обычно стараются найти абсолютно меньшие погрешности.

Из определения: А-В<=Д  / А-В<=Д  / А<=Д+В  В-Д<=А<=В+Д  А=В Д \ -А+В<=Д \ А>= В-Д

Иногда выполняя различные измерения, например, определяя высоту окна и высоту многоэтажного дома, можно иметь одно и тоже значение абсолютной погрешности. Для выявления разницы используют понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью замены величины А на В называют любое число Е, Е>=|R/A|. На практике обычно А В. Иногда можно считать: E>=|R/B|.

Из определения E>=|(B-A)/A|: можно получить А=В(1 Е).

Между относительной и абсолютной погрешностями имеется связь:

Погрешности бывают двух видов: устранимые и неустранимые. Устранимые погрешности – это погрешности, величину которой можно уменьшить.

Основные источники погрешностей: 1) погрешность задачи (связана с заменой реальной задачи математической моделью); 2) погрешность методов (возникает при замене в задаче, которую в точной постановке решить невозможно, на близкую по результата приближенную задачу); 3) начальная погрешность(применение приближенных вычислений, например g=9,8); 4) погрешность округления (связана с системой счисления. В компьютерах возникает из-за ограниченной разрядной сетки для чисел); 5) погрешность действий (арифметические действия над приближенными числами); 6) остаточная погрешность (связана с наличием бесконечных процессов и предельными переходами).

Неустранимые погрешности: погрешность задачи, начальная погрешность, погрешность действий. Остальные погрешности – устранимые. Способы устранения погрешностей зависят от вида погрешностей. Устранимые погрешности регулируются путем изменения порядка действий от исходных данных, заменой искомой задачи на более точную, выбора большего количества цифр в записи чисел, увеличением количества рассматриваемых шагов от бесконечных процессов.

41. Вычисление определенных интегралов методом трапеций и методом Симпсона. Метод двойного пересчета.

В о мног. случ. выч. опр-го инт-ла: где f(x) для опред-ти неоп-на на [a,b] затрудн. Прибл. вычисл. м/но пров. исп-я инт-ые суммы, разбив. отрез. интег-ния для упрощ. оценки погрешн. на рав. части.

I . Ф-ла трапеций. Раз-ем отрез. интег-ия на n-рав. частей и заменим на каждом Δx_i кривую y=f(x) хордой. Замен. в вычисл. площадь кривол. трапец. площ-ю прямоуг.:

Суммируя, получ. Ф-ла трапеций.

М/но показ. что погрешность:

II. М-д Симпсона. Разобъем отрез. интег-ия на 2n равных частей точками: a=x₀<=x₁<=…<=x_2n=b. На каж. из отрезков [x_2i,x_2i+2] где i=0,n-1 ч/з точки: (x_2i,y_2i),(x_2i+1,y_2i+1),(x_2i+2,y_2i+2) провед. квадратич. параболу с осью ||-ой оси Oy. Б/м считать, что:

Отметим, что …

Ф-ла Симпсона (квадратич. ф-ла)

Погреш. ф-лы м.б. оценена след-щим нерав-ом:

I II. На практике чаще задают точность чем n, чтобы не вычисл. n по ε исп-ют м-д 2-го пересчет: Выбир. нек-рое знач. N и вычисляют инт-л при этом N, J₁, з/м N удваивают 2N и вновь инт-л – J₂, если |J₂-J₁|<=ε за рез/т берут J₂, иначе вновь удваивают (4N) и J₃ и т.д.