2.2. Волны

Процесс распространения колебаний в пространстве называют волновым процессом, или волной. Если колебания являются гармоническими, волна называется синусоидальной (или гармонической). Получим уравнение плоской бегущей волны – волны, которая распространяется вдоль одного фиксированного направления, а колебания, имеющие одинаковую фазу, происходят в плоскостях перпендикулярных к направлению распространения волны (к направлению скорости волны). Пусть волна распространяется вдоль оси Х со скоростью V, а источник расположен в точке x = 0 и совершает гармонические колебания по закону . В произвольной точке х колебания повторяют колебания источника с запаздыванием на время , необходимое для прохождения волны до этой точки. Таким образом, уравнение плоской бегущей синусоидальной волны

. (13)

В последнем выражении использовано стандартное обозначение волнового числа , где длина волны .

Стоячие волны, как следует из названия, описывают установившийся в пространстве процесс колебаний. стоячие волны образуются при наложении двух бегущих навстречу друг другу синусоидальных волн, имеющих одинаковые частоту и амплитуду: , .

Результат сложения

(14)

описывает распределенные в пространстве колебания с частотой , амплитуда которых периодически изменяется с изменением координаты x. В точках с координатами , m = 0, 1, 2, ..., амплитуда колебаний достигает максимума, равного 2A. Такие точки называют пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда равна нулю, называют узлами. Координаты таких точек определяются уравнением , n = 0, 1, 2, ... . Стоячие волны, в отличие от бегущих, не переносят энергию в пространстве.

Задача. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью V = 20 м/с. Две точки, лежащие на этой прямой на расстояниях x₁ = 12 м и x₂ = 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз  = 0.75. Найти длину волны , написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t = 1.2 с, если амплитуда колебаний источника А = 0.1 м.

Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны , колеблются с разностью фаз ; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии x, колеблются с разностью фаз . Решая это уравнение относительно , получаем и, производя вычисления, находим  = 8 м.

Для записи уравнения волны определим также период колебаний и круговую частоту: T = /V = 0.4 с,  = 2/T = 5 с^–1. Подставляя найденные величины в общее уравнение, получаем уравнение волны .

Чтобы найти смещение  указанных точек, достаточно подставить в уравнение волны значения х и t: , .

2.3. Оптика

Интерференция. Интерференцией волн называется устойчивое во времени перераспределение энергии волн в пространстве, т. е. образование в различных точках пространства минимумов и максимумов интенсивности волн. Наблюдается это явление при наложении когерентных волн, т. е. волн одинаковой частоты и постоянной разности фаз. Одним из способов получения когерентных волн является разделение волнового фронта волны на две части при помощи щелей, зеркал, призм. Пройдя до точки наблюдения различные пути l₁, l₂, когерентные волны попадают в одну точку пространства с разностью фаз, , где k – волновое число; λ – длина волны в вакууме; (l₂ – l₁) – геометрическая разность хода. При распространении света в среде длина волны уменьшается , где n – показатель преломления среды. поэтому, если одна волна распространяется в среде с показателем преломления n₁, а другая – n₂, то

, (15)

где  справа называется оптической разностью хода. При вычислении результирующей разности фаз Δ между интерферирующими лучами надо учитывать изменение фазы на π при отражении от оптически более плотной среды. Это изменение фазы эквивалентно «потере» или «приобретению» полуволны.

Приходящие в точку наблюдения от различных источников колебания складываются: при этом имеет значение направление отклонения колеблющейся величины от положения равновесия (это «эквивалентно» поляризации), амплитуда колебаний, частота и начальная фаза каждого из складываемых колебаний.

Так, при сложении когерентных колебаний одинаковой частоты и направления (не путать направление колебаний, т. е. направление, в котором колеблющаяся величина отклоняется от своего положения равновесия, с направлением распространения колебаний) максимум интенсивности получаем в тех точках, куда волны приходят в фазе, т. е. максимумы отклонения от различных источников приходят в один и тот же момент времени, при этом оптическая разность хода интерферирующих лучей равна целому числу длин волн. Минимум наблюдается, когда в точку наблюдения от одного источника приходит минимум в тот момент, когда от другого источника приходит максимум: отклонения оказываются в противофазе и их модули вычитаются. при этом оптическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн:

для максимума

,

для минимума (16)

,

где m = 0, 1, 2, 3….

когда рассматривается интерференция от двух независимых источников волн (в отличие от разделения волнового фронта от одного источника), то формулы (16) предполагают, что оба источника не только когерентны, но и колеблются синфазно.

При решении задач на интерференцию необходимо:

1) сделать чертеж, на котором показать ход интерферирующих лучей;

2) определить оптическую разность хода и учесть «потерю» полуволны, если это имеет место;

3) записать условие минимума или максимума в зависимости от конкретной задачи.

Р

0.5S₂

θ₂

S₁

θ₁

ассмотрим, например, задачу об отражении света с длиной волны  от тонкой плоскопараллельной пластинки толщиной b из материала с показателем преломления n. При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку (или пленку) происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают две световые волны, которые при определенных условиях могут интерферировать. Оптическая разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в точке С, равна . Воспользовавшись геометрическими соотношениями, а также законами отражения и преломления (см. рисунок), получим . При вычислении разности фаз между колебаниями в лучах 1 и 2 кроме оптической разности хода  нужно учесть возможность изменения фазы волны при отражении. В точке С луч 1 отражается от оптически более плотной среды, поэтому претерпевает изменение на . Луч 2 на нижней стороне пластинки отражается от оптически менее плотной среды, поэтому фаза колебаний в нем не изменяется при отражении. В итоге между лучами 1 и 2 возникает дополнительная разность фаз, равная , которую можно учесть, добавив к  (или вычтя из нее) половину длины волны в вакууме. В результате получим

. (17)

В заключение отметим, что соотношение между оптическими плотностями сред в каждом конкретном случае может отличаться от рассмотренного, поэтому следует быть внимательным при учете изменения фазы, связанного с отражением.

Задача. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плоско-выпуклой линзой находится жидкость, показатель преломления которой n_ж = 1.3. Найти радиус линзы, если радиус r восьмого темного кольца в отраженном свете с длиной волны λ = 650 нм равен 2.0 мм. Показатель преломления стекла равен 1.5.

Дано:

m = 8

r = 2,0 мм

₀=650 нм

n

n_ст

n_ж

_ст = 1.5

n

n_ст

_ж = 1.3

R – ?

Решение. В задаче идет речь о кольцах Ньютона, которые являются частным случаем интерференции света в тонких пленках переменной толщины. Для получения колец Ньютона используется стеклянная пластина, на которой лежит плосковыпуклая линза. Зазор между пластиной и линзой заполнен жидкостью. Нормально падающая параллельным пучком волна на границе прозрачной среды делится на отраженную и преломленную. Интерференционную картину дают лучи 1 и 2, т. е. луч 1, отраженный от выпуклой поверхности линзы, и луч 2, отраженный от стеклянной пластины. Интерференционная картина локализована на выпуклой поверхности линзы и имеет вид чередующихся темных и светлых колец. Каждое кольцо соответствует определенному значению толщины зазора d, т. е. является полосой «равной толщины».

Найдем оптическую разность хода лучей 1 и 2, учитывая, что луч, отраженный от стеклянной пластины, меняет фазу на π, т. е. «теряет» полуволну

.

Эта разность хода должна удовлетворять условию минимума , поэтому

или .

Используя теорему Пифагора и учитывая, что , имеем

.

Решая совместно уравнения, получаем . Проверим размерность

.