Задания Колебания

Задание 1. Механические колебания

Для одной из колебательных систем, приведенных в табл. 1, выполните следующие задания:

а) выбрав в качестве координаты угол , задающий отклонение системы от положения равновесия, запишите выражение для полной механической энергии системы;

б) исходя из полученного выражения получите дифференциальное уравнение малых колебаний и вычислите собственную частоту ₀;

в) запишите закон движения системы (в виде  = _mcos(₀t-₀)), если заданы начальное отклонение от положения равновесия ₀ и начальная фаза колебания ₀. Постройте в соответствующем масштабе график этих колебаний;

г) найдите величину полной энергии колебаний;

д) вычислите угловую скорость и ускорение системы в момент времени, когда отклонение от положения равновесия равно ₁.

Все численные значения параметров системы возьмите из табл. 1.

Таблица 1

№ варианта	Геометрия системы	Параметры системы
1		m = 5 кг k = 2104 Н/м l = 0,5 м 0 = 5, 1 = 3, 0 = 30
2		m = 4 кг k1 = 2104 Н/м, k2 = 3104 Н/м l = 1,0 м 0 = 4, 1 = 6, 0 = 60
3		m = 6 кг k1 = 3104 Н/м, k2 = 4104 Н/м l = 0,75 м 0 = 4, 1 = 3, 0 = 45
4		m = 3 кг k = 6104 Н/м l = 1,2 м 0 = –6, 1 = 6, 0 = 120

Окончание табл. 1

5		m = 2 кг k = 2104 Н/м R = 0,5 м 0 = –6, 1 = 5, 0 = 150
6		m = 4 кг k1 = 2104 Н/м, k2 = 4104 Н/м R = 0,6 м 0 = –4, 1 = 4, 0 = 135
7		m = 3 кг k = 2104 Н/м l = 0,8 м 0 = 8, 1 = 4, 0 = 30
8		m = 6 кг k1 = 4104 Н/м, k2 = 6104 Н/м l = 1,1 м 0 = 4, 1 = 2, 0 = 45
9		m = 1 кг k = 2104 Н/м R = 0,4 м =30 0 = –8, 1 = 5, 0 = 150
10		m = 3 кг k = 3104 Н/м l = 1,2 м =30 0 = 10, 1 = 6, 0 = 30

Задание 2. Затухающие и вынужденные колебания

Для колебательного контура, приведенного в табл. 2, и указанной там же неизвестной величины выполните следующие задания:

а) составьте дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для указанной величины и определите собственную частоту контура и коэффициент затухания;

б) рассчитайте частоту свободных затухающих колебаний в контуре при выключенной внешней ЭДС. Вычислите логарифмический декремент затухания и критическое сопротивление контура;

в) по заданному начальному значению тока или напряжения рассчитайте полную электромагнитную энергию контура. Получите зависимость, по которой энергия в контуре будет уменьшатся со временем при свободных затухающих колебаниях. Постройте график этой зависимости;

г) рассчитайте, за какое время t_N амплитуда затухающих колебаний уменьшится в N раз. Во сколько раз при этом уменьшится энергия колебаний?

д) рассмотрите теперь вынужденные колебания и вычислите резонансную частоту для контура, а также значение при резонансе для указанной величины, найдите также значения для указанной величины при  = 0 и   ;

е) постройте примерную зависимость указанной величины от частоты внешней ЭДС;

ж) вычислите добротность контура.

Таблица 2

№ варианта	Схема колебательного контура	Неизвестная величина	L	C	R	ILo	UCo	N
			мГн	мкФ	Ом	А	В	–
1		UC(t)	2.0	12	0.80	50	1.0	10
2		I(t)	80	15	18	10	2.0	16

Окончание табл. 2

3		UL(t)	1.5	0.25	3.0	20	4.0	8
4		UC(t)	1.0	20	100	30	3.0	20
5		IR(t)	2.0	15	200	40	2.0	15
6		IR(t)	1.0	10	150	10	5.0	10
7		UL(t)	3.0	15	250	0	10	12
8		QC(t)	3.0	0.40	8.0	20	30	10
9		IC(t)	1.5	1	0.5	10	15	5
10		IL(t)	0.8	1.2	0.6	8	12	11

Задание 3. Сложение колебаний одинаковой частоты

Пусть при сложении двух колебаний одного направления и одинаковой частоты вида x₁ = a₁cos(t – ₁), x₂ = a₂cos(t – ₂) получается результирующее колебание x₃ = a₃cos(t – ₃).

Считая заданными две из трех амплитуд колебаний и две начальные фазы, определите неизвестные амплитуду и фазу колебаний. Постройте векторную диаграмму сложения этих колебаний. Значения известных амплитуд и фаз возьмите из табл. 3. Там же указано, какие величины следует определять.

Таблица 3

№ варианта	a1, см	1	a2, см	2	a3, см	3
1	5	20	4	320	?	?
2	3	150	5	45	?	?
3	4	200	3	70	?	?
4	5	150	?	?	2	45
5	?	?	5	120	4	90
6	?	?	2	60	5	–60
7	2	15	?	?	6	300
8	6	75	?	?	8	220
9	3	20	5	240	?	?
10	2	120	?	?	3	–45