2. Анализ и расчет линейных цепей переменного тока

2.3. Сопротивления и фазовые соотношения между токами и напряжениями

Соотношение между линейными и фазовыми напряжениями и токами

При соединении генератора в "звезду" (рис. 7.5, 7.6, 7.7) линейное напряжение по модулю в  раз больше фазового напряжения генератора (Uф генератора). Это следует из того, что UЛ есть основание равнобедренного треугольника с острыми углами по 300 (рис. 7.10):

   (7.1)

 

Рис. 7.10

 Линейный ток IЛ при соединении генератора в "звезду" равен фазовому току генератора:

   (7.2)

 При соединении генератора в "треугольник" линейное напряжение равно фазовому напряжению генератора (рис. 7.8; 7.9):

   (7.3)

 При соединении нагрузки в "звезду" (рис. 7.5; 7.6;.7.9) соответствующий линейный ток равен соответствующему фазовому току нагрузки:

  При соединении нагрузки "треугольником" токи в сторонах треугольника также снабжают двумя индексами. Положительные направления токов выбирают по часовой стрелке. Индексы у токов соответствуют выбранным для них положительных направлениям. Первый индекс соответствует узлу, из которого ток вытекает, второй - узлу, в который ток втекает.

 При соединении нагрузки в "треугольник" (рис. 7.7; 7.8) линейные токи не равны фазовым токам нагрузки и определяются через них по первому закону Кирхгофа:

       (7.4)

 В случае симметричной нагрузки   сумма фазных токов в нагрузке равна нулю. Линейный ток определяется как основание равнобедренного треугольника (рис.7.11):

   (7.5)

 

Рис. 7.11

3.Мощность трехфазной цепи

 Под активной мощностью трехфазной системы понимают сумму активных мощностей фаз и активной мощности, выделяемой в сопротивлении, включенном в нулевой провод:

   (7.6)

 Реактивная мощность - сумма реактивных мощностей фаз и реактивной мощности сопротивления, включенного в нулевой провод:

   (7.7)

 Полная мощность:

   (7.8)

 Если нагрузка симметричная, то  

   (7.9)

  . (7.10)

 Здесь под j понимается угол между напряжением UФ и током IФ фазы нагрузки.

 При симметричной нагрузке фаз

   (7.11)

   

 При симметричной нагрузке независимо от способа ее соединения в "звезду" или в "треугольник"

  Поэтому вместо формул (7.11) используют следующие:

   (7.12)

 

Последовательное соединение индуктивной катушки и конденсатора

При прохождении тока по индуктивной катушке ее обмотка нагревается, и также возникает магнитное поле. Преобразование электрической энергии в тепловую характеризуется активным сопротивлением R. Преобразование электрической энергии в энергию магнитного поля характеризуется индуктивностью L. Поэтому параметрами индуктивной катушки являются активное сопротивление R и индуктивность L. В конденсаторе электрическая энергия источника преобразуется в энергию электрического поля. Эта способность конденсатора характеризуется его емкостью С.

Схема цепи с последовательным соединением индуктивной катушки и конденсатора представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема цепи с последовательным соединением

индуктивной катушки и конденсатора

Между напряжениями на отдельных участках цепи существуют углы сдвига фаз, поэтому складывать их можно только геометрически. Напряжение на входе цепи можно найти на основании второго закона Кирхгофа в векторной форме

,

где – активная составляющая напряжения катушки. Вектор совпадает по фазе с вектором тока ;

– индуктивная составляющая напряжения катушки. Вектор опережает вектор тока на ;

– емкостное напряжение конденсатора. Вектор отстает от вектора тока на .

Модули этих напряжений:

, , , (1)

где – индуктивное сопротивление катушки,

; (2)

– емкостное сопротивление конденсатора,

. (3)

В формулах (2) и (3) – угловая частота, а – циклическая частота входного напряжения.

В зависимости от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями в цепи возможны 3 режима: 1. , ток в цепи отстает от приложенного к ней напряжения; цепь носит индуктивный характер , (рис. 2, а).
2. , , ток в цепи опережает приложенное к ней напряжение; цепь носит емкостный характер , (рис. 2, б).
3. , напряжение на входе цепи совпадает по фазе с током; цепь носит активный характер (рис. 2, в)	Рис. 2. Векторные диаграммы напряжений для разных характеров цепи

Из рис. 2, а следует, что модуль напряжения на входе цепи , где – модуль реактивного напряжения.

Векторы индуктивного и емкостного напряжений находятся в противофазе, поэтому модуль реактивного напряжения ;

.

Подставив значения из формул (1) , получим:

, (4)

где – полное сопротивление цепи переменного тока,

. (5)

Из формулы (4) получим закон Ома для цепи переменного тока: .

Режим, при котором в цепи с последовательным соединением индуктивного и емкостного элементов напряжение на входе совпадает по фазе с током, называется резонансом напряжений. Условием возникновения резонанса напряжений является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений или . Следовательно, режим резонанса может быть достигнут изменением индуктивности катушки , емкости конденсатора или частоты входного напряжения .

В режиме резонанса реактивное сопротивление , а полное сопротивление , т.е. имеет минимальное значение.

Поэтому ток в цепи будет максимальным, что является признаком резонанса напряжений.

Реактивная мощность цепи при резонансе напряжений равна нулю ( ).

Активная мощность цепи максимальная и равна полной мощности S. Коэффициент мощности при резонансе напряжений равен единице

. (6)

Важнейшей особенностью резонанса напряжений является усиление напряжения, отсюда и название этого явления. Напряжения на индуктивном и емкостном элементах равны между собой и, если , могут значительно превышать входное напряжение. . Поэтому внезапное возникновение резонансного режима в цепях большой мощности может вызвать аварийную ситуацию, привести к пробою изоляции проводов и кабелей и создать опасность для обслуживающего персонала.

В ряде областей электротехники резонанс напряжений находит полезное применение. Колебательные контуры, например, представляют неотъемлемую часть всякого радиотехнического устройства. В частности, настройка радиоприемника заключается в том, чтобы изменением емкости или индуктивности добиться совпадения частоты колебательного контура в приемнике с частотой генераторов передающей радиостанции.

В выпрямительных устройствах применяются электрические фильтры, в которых используется резонанс напряжений для выделения на нагрузке напряжения определенной полосы частот, вследствие чего их называют полосовыми.

В измерительной технике существует резонансный метод измерения параметров индуктивной катушки и .

Параллельное соединение индуктивной катушки и конденсатора

Р ис. 3. Схема цепи с параллельным соединением индуктивной катушки и конденсатора

На рис. 3 представлена схема цепи с параллельным соединением индуктивной катушки и конденсатора. Ток неразветвленного участка цепи определяется по первому закону Кирхгофа в векторной форме , (7) где – ток конденсатора, – ток катушки. На рис. 4 представлена векторная диаграмма, построенная по уравнению (7). Векторы токов и разложены на составляющие.

Рис. 4. Векторная диаграмма токов

Составляющие, параллельные вектору напряжения , совпадают с ним по фазе и называются активными токами и .Составляющие, перпендикулярные вектору напряжения , называются реактивными токами и . Реактивный ток второй ветви отстает от вектора на и является индуктивным током . Ток первой ветви опережает вектор на и является емкостным током . Индуктивный и емкостный токи находятся в противофазе, поэтому модуль реактивного тока неразветвленного участка цепи . Из рис. 4 следует, что модуль тока неразветвленного участка цепи

. (8)

Для анализа разветвленных цепей переменного тока используют проводимости. Токи в параллельных ветвях пропорциональны входному напряжению

, , , (9)

где – активная проводимость, См;

– индуктивная проводимость, См;

– емкостная проводимость, См.

Единица измерения проводимостей – Сименс (См).

Подставим выражения (9) в формулу (8):

,

, (10)

где Y – полная проводимость,

. (11)

Выражение (10) представляет собой закон Ома, записанный через проводимости для цепи переменного тока с параллельным соединением ветвей.

В зависимости от соотношения между индуктивной и емкостной проводимостями в цепи возможны три режима:

1. – цепь имеет индуктивный характер, , вектор тока неразветвленного участка цепи отстает по фазе от вектора напряжения на угол (рис. 5, а).

2. , и вектор тока неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением , угол (рис. 5, б).

3. – цепь имеет емкостный характер, , вектор тока неразветвленного участка цепи опережает по фазе напряжение на угол  (см. рис. 4).

Рис. 5. Векторная диаграмма токов для различных характеров цепи

Режим, при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с индуктивным и емкостным элементами, ток неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением ( ), называется резонансом токов.

Условием возникновения резонанса токов является равенство индуктивной и емкостной проводимостей

(12)

Для цепи, изображенной на рис. 3:

емкостная проводимость первой ветви – ,

индуктивная проводимость второй ветви – .

Подставляя эти значения проводимостей в условие резонанса токов, получим:

.

Отсюда видно, что резонанс токов может быть достигнут изменением параметров цепи , или изменением частоты входного напряжения .

Из выражений (9) следует, что резонансу токов соответствует равенство модулей реактивных составляющих токов ветвей . Векторы этих токов находятся в противофазе, и реактивная составляющая тока неразветвленного участка цепи – . В соответствии с уравнением (8) ток неразветвленного участка цепи равен только активной составляющей: . Поэтому ток неразветвленного участка цепи имеет минимальное значение, что является признаком резонанса токов. Это же видно из закона Ома записанного через проводимости в формуле (10).

При резонансе токов токи в ветвях значительно больше тока неразветвленной части цепи. Это свойство – усиление тока – является важнейшей особенностью резонанса токов. Отсюда и название этого явления.

Реактивная мощность цепи при резонансе равна нулю, т.к. угол (см. рис.5, б).

Активная мощность цепи равна полной мощности , а коэффициент мощности

. (13)

Особый интерес представляет цепь, состоящая из параллельно соединенных идеальной катушки, у которой активное сопротивление , и конденсатора (рис. 6, а).

Условие резонанса токов такой цепи или сводится к условию резонанса напряжений .

При этом, хотя в каждой из ветвей проходит ток и в неразветвленной части цепи ток , т.к. токи ветвей равны по величине и противоположны по фазе (рис. 6, б). Поэтому такой параллельный контур используется в качестве элемента электрических фильтров (фильтр-пробка) радиотехнических устройств.

Рис. 6. Схема (а) и векторная диаграмма (б) цепи с параллельным соединением конденсатора и идеальной катушки

Резонанс токов находит применение не только в радиотехнических устройствах. Он широко используется в промышленных электроэнергетических установках для повышения коэффициента мощности .

Активную мощность в электрической цепи можно измерить ваттметром. Ваттметр, прибор электродинамической системы, имеет две катушки, одну неподвижную, другую подвижную. У приборов ферродинамической системы катушки располагается на ферромагнитных сердечниках.

Обмотка неподвижной катушки выполняется из небольшого числа витков проволоки большого сечения. Она включается последовательно с нагрузкой , мощность которой необходимо измерить. Через нее проходит ток , и она называется токовой обмоткой ваттметра. Ее зажимы обозначаются буквой . Обмотка подвижной катушки выполняется из большого числа витков проволоки малого сечения и включается параллельно нагрузке. Она называется обмоткой напряжения. Ее зажимы обозначаются буквой (рис. 22). При взаимодействии токов неподвижной и подвижной катушек возникают силы, стремящиеся повернуть подвижную катушку и укрепленную на ней стрелку. Направление отклонения подвижной системы прибора зависит от взаимного направления токов в обеих обмотках.

Поэтому для правильного включения обмоток их зажимы маркируют. Зажимы, к которым следует присоединять провода от источника питания, называют генераторными зажимами ваттметра.

На электрических схемах эти зажимы обозначают точками, а на приборе – звездочкой (*).

Угол отклонения подвижной системы пропорционален активной мощности: , где – коэффициент пропорциональ-ности; – напряжение на подвижной обмотке; – ток, проходящий по неподвижной катушке; – коэффициент мощности, зависящий от характера нагрузки; – измеренная активная мощность.

Рис. 22. Схема включения ваттметра

Характеристические параметры четырехполюсника

На схеме (рис. 3) представлен четырехполюсник, подключенный

зажимами 1–1’ к источнику ЭДС ·E с сопротивлением Z1, к зажимам 2–2’ подключена нагрузка Zнр. Схема называется х а р а к т е р и с т и ч е с к и

с о г л а с о в а н н о й если одновременно имеют место следующие условия входное сопротивление четырехполюсника между зажимами 1–1’ равно сопротивлению Z1 источника ЭДС; сопротивление четырехполюсника между зажимами 2–2’ равно сопротивлению нагрузки Zнр.

Рисунок 3. Четырехполюсник.

.

Учет электрической энергии

Счетчик – интегрирующий прибор, дающий суммарное значение измеряемой величины за определенный промежуток времени.

Однофазный индукционный счетчик (рис. 23) состоит из двух электромагнитов 1 и 2, между которыми находится алюминиевый диск 3, насаженный на ось, вместе с которой он может свободно вращаться, постоянного магнита 4. Ось связана с помощью червячной передачи со счетным механизмом.

Рис. 23. Устройство однофазного индукционного счетчика

Обмотка электромагнита 1 с током включается последовательно с нагрузкой . Она состоит из небольшого числа витков провода большого сечения. Обмотка электромагнита 2 с током включается параллельно нагрузке. Она имеет большое число витков провода малого сечения. Токи и создают магнитные потоки и , которые пересекают диск и наводят в них вихревые токи.

При взаимодействии вихревых токов с магнитными потоками возникает вращающий момент, пропорциональный активной мощности нагрузки:

.

Постоянный магнит 4 препятствует вращению диска, создавая тормозной момент , пропорциональный частоте вращения диска

.

При равенстве вращающего и тормозного моментов диск вращается равномерно .

,

откуда активная мощность ,

где и – коэффициенты пропорциональности; , .

Энергия, израсходованная за время :

,

где – число оборотов диска за время :

.

Полученное выражение является основным уравнением счетчика.

– постоянная счетчика или цена одного оборота ( ). Она показывает, какому количеству киловатт-часов электроэнергии соответствует один оборот диска. Червячная передача счетного механизма учитывает постоянную счетчика, и счетный механизм непосредственно отсчитывает энергию в киловатт-часах. Величина, обратная постоянной счетчика, называется передаточным числом счетчика: .

Передаточное число показывает, сколько оборотов делает диск, пока энергия изменяется на 1 кВт^.ч. Оно всегда указывается на маркировочной таблице счетчика.

Трехфазные электрические цепи

В связи с тем, что значительная часть приемников, включаемых в трехфазные цепи бывают несимметричными, очень важно на практике обеспечить независимость режима работы отдельных фаз. Кроме четырехпроводной цепи подобными свойствами обладают и трехпроводные цепи при соединении фаз приемника треугольником. Соединением в треугольник называется соединение, когда конец одной фазы соединяется с началом другой, образуя замкнутый контур. Полученные узлы присоединяют к соответствующим началам фаз генератора линейными проводами (рис. 19).

В треугольник могут соединяться фазы трансформаторов, электродвигателей, фазы осветительной нагрузки и т. д. При соединении фаз приемников с сопротивлениями в треугольник каждая фаза включается на линейное напряжение источника. Поэтому фазные напряжения равны линейным напряжениям , т.е. .

Фазные токи определяются по формулам

; ; .

Линейные токи определяются по фазным токам из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов а, в, с (см. рис. 19).

, ;

, ;

, . (21)

Рис. 19. Схема трехпроводной трехфазной цепи при соединении приемников в треугольник

Из уравнений (28) следует, что любой из линейных токов равен геометрической разности токов тех двух фаз нагрузки, которые соединяются с данным линейным проводом. Векторы линейных токов можно определить из векторной диаграммы, построенной на основании уравнений (21), для чисто активной нагрузки, например, осветительной (рис. 20).