Логарифмические частотные характеристики элементарных динамических звеньев

 

Безынерционное звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

 

Дифференцирующее звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

Для удобства построения определим точку, где ЛАЧХ пересекает ось частот –

.

Определим наклон ЛАЧХ

,

то есть, получаем, что ЛАЧХ получает приращение 20 децибел на интервале частот в 1 декаду.

 

Интегрирующее звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

Для удобства построения определим точку, где ЛАЧХ пересекает ось частот –

.

Определим наклон ЛАЧХ

,

то есть, получаем, что ЛАЧХ получает уменьшение на 20 децибел на интервале частот в 1 декаду.

 

Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение величине в 1 Белл.

2. Каким образом вычисляется логарифмический коэффициент усиления по мощности для четырехполюсников?

3. Что определяет понятие "декада" применительно к логарифмическим частотным характеристикам?

4. Дайте определение логарифмической амплитудной частотной характеристике.

5. Дайте определение логарифмической амплитудной частотной характеристике.

6. Перечислите основные достоинства логарифмических частотных характеристик по сравнению с обычными частотными характеристиками.

7. Передаточная функция звена –

,

как зависит от частоты ЛАЧХ этого звена? Определите ЛАЧХ этого звена.

Ответ:

ЛАЧХ не зависит от частоты,

.

8. Передаточная функция звена –

,

определите значение ЛАЧХ этого звена при частоте .

Ответ:

.

9. Передаточная функция звена –

,

определите наклон ЛАЧХ этого звена.

Ответ:

Наклон ЛАЧХ этого звена составляет .

Лекция 10 Логарифмические частотные характеристики систем автоматического управления

 

 

Апериодическое звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

В этом случае, при частоте –

имеем

.

Рассмотри для апериодического звена два характерных диапазона:

(1)

(2)

,

.

Выражения (1) и (2) представляют собой уравнения прямых линий – асимптот, к которым стремиться ЛАЧХ при удалении от точки их сопряжения . Как мы увидим в дальнейшем, при синтезе и анализе систем бывает удобнее пользоваться не точными, а асимптотическими характеристиками.

Как мы увидели при работе с простейшими типовыми звеньями, частотные характеристики могут быть получены по передаточной функции. В более сложных случаях, при решении задач синтеза и анализа САУ возникает потребность в получении характеристик САУ по известным характеристикам звеньев, входящих в САУ.

Наиболее часто используется случай, когда звенья в САУ включаются последовательно, как это показано на рис. 1.

Рис. 1

В соответствии с правилами эквивалентных преобразований передаточная функция всей САУ будет иметь вид –

.

Получим частотную характеристику САУ

Следовательно,

АЧХ САУ –

(3)

ФЧХ САУ

(4)

Получим по выражениям (3) и (4) логарифмические характеристики САУ:

ЛАЧХ –

(5)

ЛФЧХ –

(6)

Таким образом, логарифмические частотные характеристики САУ могут быть определены, как сумма логарифмических частотных характеристик последовательно включенных составляющих САУ звеньев. Логарифмические масштабы и использование асимптот позволяет осуществить суммирование графически.

В ТАУ так же используются свойства логарифмических частотных характеристик динамических звеньев, передаточные функции которых взаимообратные –

.

Пусть частотные характеристики звена известны:

Частотная характеристика –

,

ЛАЧХ –

,

ЛФЧХ –

.

Тогда частотные характеристики звена имеют вид:

Частотная характеристика –

,

ЛАЧХ –

,

ЛФЧХ –

.

Таким образом, ЛАЧХ и ЛФЧХ взаимообратных динамических звеньев расположены симметрично относительно оси частот, подтверждением чему служат полученные ранее ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего и интегрирующего звеньев.

Пример

Для САУ была определена передаточная функция. Следует определить ЛАЧХ САУ.

.

Решение

Представим САУ в виде последовательно включенных динамических звеньев

Получим асимптотические ЛАЧХ для каждого апериодического звена

Используя свойства ЛАЧХ взаимообратных звеньев, получим асимптотические ЛПЧХ форсирующих звеньев .

Получим асимптотическую ЛАЧХ САУ выполнив графическое суммирование ЛАЧХ звеньев

.

Задачу существенно упрощает то, что асимптотические графики звеньев имеют участки с целочисленным наклоном.

Получим ЛАЧХ и ЛФЧХ типовых звеньев, используя рассмотренное выше.

 

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде

Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид –

,

.

 

Интегрирующее звено с запаздыванием

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде

Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид –

,

.

 

Пропорционально-интегральное звено

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде

Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид –

,

.