Контрольные вопросы и задачи к лекции 4
1. Как с помощью таблиц преобразования Лапласа получить частотный спектр реального сигнала – непериодической функции времени?
Если изображение по Лапласу имеет вид дробно-рациональной функции, в какой форме ее удобнее представлять для получения оригинала, в форме Боде или в форме Хэвисайда?
Определите оригинал следующего изображения по Лапласу
.
Ответ:
.
Определите оригинал следующего изображения по Лапласу
.
Ответ:
.
Найдите , решив дифференциальное уравнение
,
где
.
Ответ:
.
Найдите , решив дифференциальное уравнение
,
где
.
Ответ:
.
Лекция 5. Понятие линейного динамического звена
5.1. Уравнение линейного динамического звена
САУ удобно представлять для анализа и при синтезе в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев.
Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 1.
Рис. 1
Подробное изучение свойств реальных объектов управления и систем автоматического управления приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно аппарат изучения линейных систем, а особенности систем других классов: нелинейных, импульсных, цифровых и стохастических, будут излагаться позднее в других учебных дисциплинах.
Если уравнение,
связывающее сигналы
и
,
линейно, то говорят о линейном динамическом
звене
Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:
|
(1) |
где
-
постоянные коэффициенты,
.
Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом.
5.2. Передаточная функция линейного динамического звена
Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу
.
Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов
|
(2) |
Преобразуем уравнение (2) к следующему виду
|
(3) |
Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов
|
(4) |
Отношение (4) не
зависит от изображений сигналов,
определяется только параметрами самого
динамического звена (
),
имеет вид дробно-рациональной функции.
Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена
.
Уравнение вида
,
называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.
Пример
Определим передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме, приведенной на рис. 2.
Рис. 2
Решение:
По второму закону Кирхгоффа запишем уравнения описывающие схему
С учетом того, что
,
получаем
Получим операторные уравнения
Из второго уравнения выразим значение изображения тока
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы
.
В итоге получаем искомую передаточную функцию
.