7.6 Аналіз функціонування системи управління повітряним рухом в районі аеродрому

Початкові умови розв’язування задачі аналізу функціонування системи управління повітряним рухом у районі аеродрому:

станом системи в даний момент часу вважаємо кількість суден, що перебувають на обслуговуванні , тобто в зонах очікування, а також на траєкторіях зниження і заходження на посадку;

розглядається стаціонарний (усталений) режим функціонування системи, який можливий тільки при λ<μп, де λ – інтенсивність прильоту повітряних суден; μп – потенційна інтенсивність обслуговування (посадок) суден;

потоки переходів системи з одних станів в інші, що здійснюється з інтенсивностями λ і μп, є найпростішими (пуассонівськими).

Тоді систему управління повітряним рухом у районі аеродрому можна представити як СМО, схема якої показана на рис. 7.5.

Т аку розімкнуту схему СМО називають схемою розмноження і загибелі. Ця назва обумовлена тим, що подібною схемою зображається процес розмноження і загибелі живих організмів, хоча при цьому, на відміну від показаного на рис. 7.5, інтенсивності переходів в одному і тому ж напрямі не залишаються постійними, тобто залежать від стану системи.

За умов, що наведені вище, рівняння станів для схеми рис. 7.5 мають наступну форму:

(7.2)

(7.3)

…………………… …

Розв’яжемо останню систему рівнянь, визначивши ймовірності р0, р1, … . Для цього спочатку означимо

і визначимо всі ймовірності станів через ймовірність р0.

З рівняння (7.2) одержимо:

З рівняння (7.3) і врахувавши останню рівність, матимемо:

Продовживши таким же чином визначати ймовірності станів, помітимо, що взагалі , де n – кількість суден на обслуговуванні.

Підставивши ці значення ймовірностей у рівняння нормування, одержимо:

звідки визначимо:

У правій частині останньої рівності у знаменнику маємо суму членів нескінченної спадної геометричної прогресії з першим членом 1 і знаменником γ. Відомо, що така сума дорівнює першому члену прогресії, розділеному на одиницю мінус знаменник прогресії, тому

(7.4)

Знаючи ймовірності одночасного перебування на обслуговуванні будь-якої кількості повітряних суден, визначимо середню кількість суден, які одночасно перебувають на обслуговуванні:

Права частина останньої рівності є сумою членів нескінченної спадної геометричної прогресії, першим членом і знаменником якої є ρ, тому

Середнє значення часу t перебування повітряного судна у районі аеродрому дорівнює середній кількості суден на обслуговуванні, помноженій на час обслуговування одного судна:

З точки зору практичної діяльності важливо знати максимальний можливий час перебування повітряного судна в районі аеродрому, тому що це пов’язане як з безпекою, так і з економічністю польотів. Оскільки ж процес, що розглядається, є імовірнісним, то такий час можна оцінити тільки у імовірнісному аспекті. Для цього треба задати граничну (допустиму) ймовірність р_гран. неперевищення згаданим часом того значення, яке при цьому отримаємо. Тоді на підставі (7.4) запишемо:

звідки визначимо

Граничний ( максимальний при заданій його ймовірності р_гран. ) час перебування судна у районі аеродрому, тобто час очікування посадки і заходження на посадку

В останній рівності основа, за якою здійснюється логарифмування, не має значення.