Задача 4

При изучении процессов в электрических цепях с распределенными параметрами рассматривался важный для практики случай двухпро­водной линии электропередач. Электромагнитные процессы в такой линии определяются ее длиной и следующими параметрами, рассчи­тываемыми на единицу длины линии: электрической емкостью С ме­жду проводами и активной проводимостью утечки G между ними, обусловленной несовершенством воздуха как изолятора (удельная элек­тропроводность воздуха g₀ ¹ 0), индуктивностью L и активным со­противлением R двух проводов. Через параметры C, G, L, R и угло­вую частоту w питающего линию напряжения выражаются волновое сопротивление Z и коэффициент распространения d :

, , (4.1)

где величина a определяет затухание тока и напряжения по длине линии и характеризует потери в ней (для линии без потерь a = 0); величина же b характеризует фазовые соотношения между напряже­нием и током в линии и определяет их фазовую скорость v = w / b .

Формула (4.1) получена с помощью методов теории электриче­ских цепей. Входящие же в них параметры С , G , R , L определяются как интегральные характеристики электромагнитного поля и по­этому могут быть рассчитаны только на основе теории поля. В на­стоящей задаче определению подлежат лишь два параметра: С и G.

Пусть имеется двухпроводная линия (рис. 4.1), расположенная в воздухе с удельной электропроводностью g₀ = 10^-6 См/м и диэлек­трической прони-цаемостью e₀ = 8,86×10^-12 Ф/м. Ее провода 1 и 2 имеют одинаковые радиусы

r₀ = 4 мм. Линия проходит параллельно плоской поверхности земли, имеющей удельную проводимость g >> g₀ и диэлектрическую проницаемостью e >> e₀ . Используя рис. 4.1 и дан­ные табл. 4.1, требуется:

1. получить (вывести, доказать, обосновать) каждое из приведенных ниже соотношений (4.2)-(4.7);

1. рассчитать приближенные значения емкости С » С₀ и проводимости

G » G₀ (без учета влияния земли);

2. рассчитать точные значения емкости С и проводимости G

(с учетом влияния земли);

4) рассчитать относительные погрешности значений емкости С₀ и прово-димости G₀ .

Таблица 4.1

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента
	1 1 2	3	4 5	6 7 8 9	0
D , м	0 0,2	0,4	0,6 0,8	1,0 1,2 1,4 1,6	1,8
Значение D выбирается по последней цифре шифра
h1 , м	3,0 3,5	4,0	4,5 5,0	5,5 6,0 6,5 7,0	7,5
Значение h1 выбирается по предпоследней цифре шифра
h2 , м	4,0 4,2	4,4	4,6 4,8	5,0 5,2 5,4 5,6	5,8
Значение h2 выбирается по третьей от конца цифре шифра

Рис. 4.1

Указания

Для решения этой задачи сначала необходимо проработать материал, изложенный в [1], с. 58, 59 или [2], с. 247…250.

Согласно методу электростатической аналогии, справедливо соотно-шение

, (4.2)

позволяющее по найденным значениям С рассчитать значения G.

Вышеуказанная величина С₀ фактически соответствует емкости между двумя одинаковыми параллельными круговыми цилиндрами (рис. 4.1) радиусом r₀ , оси которых отстоят друг от друга на расстоянии D₁₂ . Следовательно,

. (4.3)

Для нахождения значения С используем уравнения так называемых потенциальных коэффициентов. В рассматриваемом случае двухпроводной линии эти уравнения имеют вид

, , (4.4)

где j₁ и j₂ - потенциалы 1-го и 2-го проводов, t₁ и t₂ - их заряды на единицу длины , a₁₁ и a₂₂ – собственные коэффициенты, а a₁₂ = a₂₁ - взаимный потенциальный коэффициент.

Так как e >> e₀ и g >> g₀ , то поверхность земли можно считать эквипотенциальной и имеющей, например, потенциал j = 0. Это позволяет для описания электрического поля над землей использовать метод зеркальных изображений (рис. 4.2), в соответствии с которым

(4.5)

, ,

, .

В двухпроводной линии

, (4.6)

так что для искомой емкости С можно записать соотношение

. (4.7)

Если теперь (4.4) подставить в (4.7), то с учетом (4.6) величина сокращается и емкость С выражается только через коэффициенты (4.5), которые зависят от показанных на рис. 4.2 геометрических размеров.

Искомые погрешности определяются выражением

.

Рис. 4.2