Задача 7

При анализе электромагнитных процессов в сердечниках транс­форматоров и электромагнитах переменного тока, а также в участ­ках магнитопроводов электрических машин, пронизываемых перемен­ными магнитными потоками, необходимо учитывать, что перечисленные элементы конструкций собирают из листов электротехни­ческой стали, разделенной изоляционными промежутками. Распреде­ление переменного магнитного потока и потерь, обусловленных вих­ревыми токами, индуцированными потоками в заказанных элементах, в значительной степени определяют параметры устройства в целом. Анализ указанного распределения можно произвести на примере од­ного листа.

Дан плоский лист из электротехнической стали толщиной 2а и высотой h. Удельная электропроводность стали g = 10⁷ См/м, а ее магнитная проницаемость равна m>>m₀ = 4 p×10^-7 Гн/м. Лист распо­ложен вдоль линий векторов напряженности H и индукции B = mH магнитного поля (рис. 7.1), синусоидально изменяющегося во времени с частотой При этом действующее значение Н на обеих поверхностях листа равно H₀ . Используя данные табл. 7.1, требуется:

1) получить (вывести, доказать) каждое из приведенных ниже со­отношений (7.1)-(7.18);

2) рассчитать и показать на рис. 7.1 в масштабе толщины листа глубину проникновения s электромагнитного поля;

3) рассчитать потери Р на вихревые токи в листе длиной 1 м и модуль магнитного потока Ф, проходящего по листу;

4) рассчитать и построить график распределения модуля индукции В в сечении листа в зависимости от координаты z (расчеты выполнить для точек z = 0, ±а/2, ±а);

5) рассчитать аналогично п. 3 потери Р₀ и поток Ф₀ в случае, когда магнитное поле является постоянным (f = 0), и сравнить их с величи­нами Р и Ф;

6) рассчитать и построить на графике п. 4 аналогичную зависи­мость от координаты z индукции B₀ в случае, когда магнитное поле является постоянным (f = 0).

Таблица 7.1

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента										0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Н0 , А/м	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
m / (1000×m0)	1,8	2,1	2,6	2,8	3,2	3,1	2,9	2,5	2,3	2,0
Значения Н0 и m / (1000×m0) выбираются по последней цифре шифра
f, Гц	50	150	200	250	300	400	500	600	1000	1000
2а, мм	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5
Значения f и 2а выбираются по предпоследней цифре шифра
h, мм	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56
Значение h выбираетcя по третьей от конца цифре шифра

Рис. 7.1

2а

y

Ф

h

Е

Е

H₀

H₀

H

g

m

d

d

0

а

- а

х

zа

Рис. 7.1

Указания

Для решения этой задачи сначала необходимо проработать мате­риал, изложенный в [1], с. 147...155 или [2], с. 382…385.

Векторы H и B имеют лишь по одной составля­ющей Н_х и В_х по оси х, т. е.

, , , . (7.1)

Обычно высота листа h >> 2а (рис. 7.1). В этом случае линии век­тора J плотности вихревого тока можно считать прямыми, парал­лельными оси у. Следовательно, и вектор E = Jg напряженности электрического поля будет иметь лишь одну составляющую по оси у:

, , , . (7.2)

Электромагнитное поле в листе описывается уравнениями Макс­велла в комплексной форме:

, , , (7.3)

где и - векторы напряженностей магнитного и электрического полей в комплексной форме.

C учетом (7.1) и (7.2) уравнения (7.3), записанные в прямоугольных координатах х, y, z, принимают вид

, . (7.4)

Отсюда следует уравнение

, (7.5)

где , . (7.6)

Общее решение уравнения (7.5) имеет вид

, (7.7)

где и - комплексные постоянные интегрирования.

Согласно рис. 7.1 напряженность (7.7) должна удовлетворять граничным условиям

, (7.8)

из которых могут быть найдены значения и :

. (7.9)

Разрешив систему двух алгебраических уравнений (7.9) относительно и , а затем подставив найденные выражения в (7.7), получим

, , (7.10)

где - гиперболический косинус.

C учетом (7.10) из первого уравнения (7.4) следует

, , (7.11)

где - гиперболический синус.

Выражение (7.10) позволяет определить комплекс магнитной индукции:

. (7.12)

Следовательно, искомый модуль индукции

. (7.13)

С учетом рис. 7.1 и формул (7.10), (7.12) для комплекса магнитного потока можно записать уравнения

, , (7.14)

где - гиперболический тангенс.

Следовательно, искомый модуль потока

, . (7.15)

Модули от гиперболических функций в (7.13) и (7.15) могут быть найдены с помощью известных формул:

, (7.16)

Для искомых потерь Р можно записать выражение

. (7.17)

Отсюда с учетом (7.11) и (7.16) следует

. (7.18)

Требуемые выражения для В₀ , Ф₀ и Р₀ определяются как пределы выражений (7.13), (7.15) и (7.18) при w ® 0, когда, согласно (7.6) ®0 и

к ® 0. Так как sh (0) = sin (0) = 0, то при этом в (7.15) сле­дует внести под знак модуля у и затем найти предел выраже­ния по правилу Лопиталя с учетом того, что sh¢( a) = ch ( a). Аналогичным образом и в (7.18) для выражения [sh(2ka) - sin(2ka)]/k следует также применить правило Лопиталя.

ЗАДАЧА 8

Многоамперные токоведущие системы и электрические аппараты, как правило, содержат медные и алюминиевые шины прямоугольного сечения. Переменный ток в поперечном сечении этих шин вследствие поверхностного эффекта распределяется неравномерно, что увеличи­вает их активное сопротивление R по сравнению с сопротивлением R₀ постоянному току

(R > R₀).

Пусть имеется, например, алюминиевая шина (рис. 8.1) толщиной 2а и высотой h >> 2а, имеющая удельную электропроводность g₀ = 3,5 × 10⁷ Cм/м и магнитную проницаемость m₀=4p×10⁷ Гн/м. По шине протекает синусоидальный ток i с частотой f = w/2p. Исполь­зуя данные табл. 8.1, требуется:

1. получить (вывести, доказать, обосновать) каждое из приведенных ниже соотношений (8.1)-(8.16);

2) рассчитать и показать на рис. 8.1 двумя пунктирными линиями в масштабе толщины шины 2а глубину s₀ двухстороннего проникно­вения электромагнитного поля;

3) рассчитать для шины длиной 1м активное сопротивление R, сопротивление R₀ на постоянном токе и сопротивление R_s при допущении резкого поверхностного эффекта; найти погрешности значений R₀ и R_s относительно точного значения R.

Таблица 8.1

Последняя, предпоследняя цифры шифра										0 0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f , Гц	50	50	50	50	200	200	200	450	450	450
2а , мм	34	34	34	34	20	20	20	12	12	12
Значения f и 2а выбираются по последней цифре шифра
h, мм	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150
Значение h выбирается по предпоследней цифре шифра

Рис. 8.1

Указания

Для решения этой задачи сначала необходимо проработать мате­риал, изложенный в [1], с. 146…155 или [2], с. 361…366.

Так как h >> 2а, то вектор напряженности магнитного поля H в шине (рис. 8.1) практически будет иметь лишь одну составляющую Н_у по оси у, т. е.

, . (8.1)

При этом вектор напряженности электрического поля E имеет только одну составляющую Е_х по оси х , т. е.

, . (8.2)

Электромагнитное поле в шине описывается уравнением Максвелла в комплексной форме:

, , , (8.3)

где и - векторы напряженностей магнитного и электрического полей в комплексной форме.

С учетом (8.1) и (8.2) уравнения (8.3), записанные в прямоугольных координатах x, y, z , принимают вид

, . (8.4)

Отсюда следует уравнение

, (8.5)

где

, . (8.6)

Общее решение уравнения (8.5) имеет вид

, (8.7)

где и - комплексные постоянные интегрирования.

Согласно рис. 8.1 и закону полного тока напряженность (8.7) должна удовлетворять граничным условиям

, , (8.8)

где I – действующее значение тока i , проходящего по шине.

С учетом (8.7) уравнения (8.8) принимают вид

, . (8.9)

Разрешив систему двух алгебраических уравнений относительно и и подставив найденные выражения в (8.7), получим

, (8.10)

где - гиперболический синус (см. (7.11) в задаче 7).

С учетом (8.10) из первого уравнения (8.4) следует

, (8.11)

где - гиперболический косинус (см. (7.10) в задаче 7).

Искомое активное сопротивление

, (8.12)

где Р – мощность тепловыделения в шине длиной 1м (рис. 8.1):

. (8.13)

Согласно (8.11) подынтегральная функция в (8.13) преобразуется к виду (см. (7.16) в задаче 7):

. (8.14)

С учетом (8.13), (8.14) и (8.8) из (8.12) находим

, . (8.15)

Сопротивление R₀ может быть получено как предел выражения (8.15) при w® 0 (см. пояснения к формуле (7.18) в задаче 7).

Сопротивление R_s фактически равно сопротивлению постоянному току 1 метра шины, когда она имеет ширину не 2а , а 2s₀ (рис. 8.2), т. е.

. (8.16)

Приближенные выражения R₀ и R_s имеют погрешности

, .