Задача 9

Важнейшим параметром обмотки электрической машины является ее активное сопротивление. Последнее зависит от токораспределения в проводни-ках, расположенных в пазах машины. В случае крупной машины проводник может занимать целый паз, имея форму шины.

Пусть в открытом прямоугольном пазу машины расположена медная шина толщиной h и высотой а, имеющая удельную электропро­водность g₀ = 5,7×10⁷ См/м и магнитную проницаемость m₀ = 4p×10^-7 Гн/м. По шине протекает синусоидальный ток i с частотой f = w /2p. Толщина изоляции между шиной и пазом мала. Так как изоляция имеет ту же магнитную проницаемость m₀, то можно считать, что ширина паза практически равна толщине h шины (рис. 9.1). Глу­бина же паза несколько больше высоты шины а. Используя данные табл. 9.1, требуется:

1. получить (вывести, доказать, обосновать) каждое из приведенных ниже соотношений (9.1)-(9.16);

1. рассчитать и показать на рис. 9.1 пунктирной линией в масштабе высоты шины а глубину s₀ проникновения электромагнитного поля;

2. рассчитать для шины длиной 1м активное сопротивление R, сопротивление R₀ на постоянном токе и сопротивление R_s при допу­щении рез-кого поверхностного эффекта; найти погрешности значений R₀ и R_s относи-тельно точного значения R.

Таблица 9.1

Последняя, предпоследняя цифры шифра										0 0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f , Гц	10	40	90	160	250	360	490	640	810	1000
2а , мм	63	31,5	21	15,75	12,6	10,5	9	7,8	6,9	6,3
Значения f и 2а выбираются по последней цифре шифра
h, мм	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3	3,2	3,4	3,6	3,8
Значение h выбирается по предпоследней цифре шифра

Указания

Для решения этой задачи сначала необходимо изучить мате­риал, изложенный в [1], с. 156 или [2], с. 361…366.

Так как материал паза (электротехническая сталь) характеризу­ется магнитной проницаемостью m >> m₀, то вектор напряженности магнитного поля в шине (рис. 9.1) практически будет иметь лишь одну составляющую Н_у по оси у, т. е.

, . (9.1)

Рис. 9.1

При этом вектор напряженности электрического поля имеет только одну составляющую Е_х по оси х, т. е.

, . (9.2)

Электромагнитное поле в шине описывается уравнениями Макс­велла в комплексной форме:

, , , (9.3)

где и - векторы напряженностей магнитного и электрического полей в комплексной форме.

С учетом (9.1) и (9.2) уравнения (9.3), записанные в прямоугольных координатах х, у, z, принимают вид

, . (9.4)

О тсюда следует уравнение

, (9.5)

где

, . (9.6)

Общее решение уравнения (9.5) имеет вид

, (9.7)

где и - комплексные постоянные интегрирования.

Так как m >> m₀, то согласно рис. 9.1 и закону полного тока напряженность (9.7) должна удовлетворять граничным условиям

, , (9.8)

где I – действующее значение тока i , проходящего по шине.

С учетом (9.7) уравнения (9.8) принимают вид

, . (9.9)

Разрешив систему двух алгебраических уравнений относительно

и и подставив найденные выражения в (9.7), получим

, (9.10)

где - гиперболический синус (см. (7.10) в задаче 7).

С учетом (9.10) и первого уравнения (9.4) следует

, (9.11)

где - гиперболический косинус (см. (7.10) в задаче 7).

Искомое активное сопротивление

, (9.12)

где Р – мощность тепловыделения в шине длиной 1 м (рис. 9.1).

. (9.13)

Согласно (9.11) подынтегральная функция в (9.13) преобразуется к виду (см. (7.16) в задаче 7):

. (9.14)

С учетом (9.13), (9.14) и (9.8) из (9.12) находим

, . (9.15)

Сопротивление R₀ может быть получено как предел выражения (9.15) при w ® 0 (см. пояснения к формуле (7.18) в задаче 7).

Сопротивление R_s фактически равно сопротивлению постоянному току 1 метра шины, когда она имеет высоту не а , а s₀ (рис. 9.1), т. е.

. (9.16)

Приближенные выражения R₀ и R_s имеют погрешности

, .

297