34.Группа подстановок

S(M)-группа подстановок на множестве М,если во множестве М=n элементов, то S(M)=sim(n)симметрическая группа на мн-ве из n элементов.Элементы из S(M)-подстановка элем.мн-ва.

Теорема: Пусть G конечная группа,модуль G=n, тогда существует G1< такое,что G <Sn.Док-во: для любого g принадл. G отображение lg: G → G:х (умножение слева)

1. lg-биекция.Инъективность х1 , lg(х1)=lg(х2)отсюда g*х1= g*х2 тогда g^-1°g°х1=g^-1°g°х2, х1= х2(противоречие);

2. lg-сюрьекция: для любого у принадлежит G: то lg(х)= у, g*x=у,то х= g^-1*у,

lg(g^-1*у)=у

3)lg-биекция.cлед-но для любого g принадл. G, lg принадл.S(G)отображение F:G S(G):g lg.Покажем,что F инъекция:g1 , lg1=lg2 след-но , lg1(е)=lg2(е) отсюда g*е= g*е тогда g1= g2(противоречие);Покажем, что сохраняет операцию:

Для любого g1, g2 F(g1,*g2)= F(g1) F(g2) отображение F:G→ G

Для любого x: F(g1,*g2)(x)- lg1*g2(x)= (g1*g2)*x=F( g1*g2)(x) знач. F(g1,*g2)= F(g1)° F(g2)

F-инъективный гомоморфизм,т.е F вложение.

35-36.Cтепени элементов в группе

Опр. Пусть <G, > g принадл. G, n принадл. Z,тогда n=0,то =е,

n пррнадл.N, =g (n раз),

n<0, n=-n₁, n₁ .N : gⁿ= = )ⁿ¹ =(g^-1)ⁿ¹=g^-1°g^-1(n1 раз).

Теорема:Пусть G-группа,g принадл. G, n , m принадл. Z тогда

1. ; 2) g^-m=(g^-1)^m= )^-1; 3) (g^m)ⁿ=(g)^mn

−во:

1).m=0: g^m °gⁿ=g⁰ gⁿ=eºgⁿ =gⁿ=g⁰⁺ⁿ=g^m+n

n=0 : g^m °gⁿ =g⁰ ºg^m=e° g^m=g^m=g^0+m=g^m+n

m>0,n>0 : g^m °gⁿ = (g°g°g°g°…°g)

(g°g°g°g°…°g)= g°g°g°g°…°g=g^m+n

m<0, n<0 : n=-n1,m=-m1: g^m °gⁿ =g^-m1° g^-n1= (g^-1)^{m 1}°(g^-1)ⁿ¹ =

=(g^-1)^m1+n1=g^m+n

m<0, n<0,n=-n1 : g^m °gⁿ =g^m° g^-n1= (g^m )°(g^-1)ⁿ¹ =

g°g°g^-1g°…°g=A

m=n1 : A= g°g°g^(-1)g°…°g=g^e=g^m-n1=g^m+n

m>n1 : A= (g°g°g^(-1)g°…°g)(m-n1раз)=g^m-n1=g^m+n

m<n1 : A= g°g°g^(-1)g°…°g=(g^-1)^n1-m=g^m+n

2. g^-m=(g^-1)^m=(g^m)^-1;

m=0 :g⁰=(g^-1)⁰ e=e^-1верно

m принадл N : g^-m=(g^-1)^m

g^m g^-1 = g°g°(g^(-1)g)°…°g=e

(g^m)^-1=(g^-1)^m: (g^-1)^m g^m=e.

37. Доказать, что

38. Циклические подгруппы и группы.

Подгруппа «g» называется циклической подгруппой группы G, порожденная элементом g (образующим g)

Если в группе «G;◦» g G, то G – циклическая группа с порождающим элементом g

«G;◦» - группа, g G. Говорят, что элемент g является элементом конечного порядка группы G, если такие к N, что =e. Если к , то элемент g имеет бесконечный порядок.

Если элемент g группы G имеет конечный порядок, то наименьшее число | =e – порядок элемента g и обозначается =Р(g)

Если – порядок g, то |«g» |= и «g»={e= ; ; …; }

Дак.: 1) «g» Разделим S на с остатком S = m+r 0≤r<

= ◦ = ◦ = e ◦ =

{e= ; ; …; } Покажем. Что все элементы множества разные

От противного: = 0≤ ≤ <

=e N

< – противоречие т.к. наименьший

|«g» |=

В любой конечной группе G порядок любого элемента делит порядок группы

Дак.: |G|=m , g G |«g» |= =P(g) [G; <g>] m:

39. Кольца

Непустое множество А – кольцо, если на нем задана бинарная операция, обычно обозначаемая «+» и называемая сложением. Такая, что «К;+» - аддетивная камуттативная группа.

а, в а+в К

0 К, а а+0=0+а=а

а (-а) а+(-а)=(-а)+а=0

а,в а+в=в+а

а,в,с (а+в)+с=а+(в+с)

На К задана бинарная операция обозначаемая «*» и называемая умнажением, такая что «К;*»-полугруппа

а,в а*в К

а,в,с (а*в)*с=а*(в*с)

Операция сложения и умножения в К согласованы условиями дистрибутивности т.е.

а,в,с а(в+с)=ав+ас

а,в,с (а+в)с=ас+вс

Кольцо К – коммуттативно если операция умножения коммуттативна т.е.

а,в ав=ва

Кольцо К – кольцо с единицей если в нем элемент нейтральный относительно умножения т.е.

а К а*1=1*а=а

Прим:

«Z;+;*» - комуттативное кольцо с 1

«5Z;+;◦» - коммуттативное кольцо без 1

«С;+; ◦» - кольцо