11. Алгебраичность алгебраического расширения алгебраического расширения.
Следствие
6.6.
Пусть элементы z1,z2
из F,
где Р c
F,
алгебраичны над
Тогда P(z1)(z2)
= P(z1;z2)
явл. алгебр. расширением Р.
Док-во: Т.к. z1 – алгебр. над Р=>P(z1)- алгебр. конечное расширение над Р.
z2 – алгебр. над Р=>P(z1)- т.к. P[x} c P(z1)[x]=> z2 - алгебр. над Р(z1), значит расширение P(z1)(z2) является конечным алгебраическим расширением поля P(z1).Тогда имеем цепочку конечных расширений P c P(z1) c P(z1)(z2).
Т.к. конечное расширение конечных расширений явл. конечным расширением, то P c P(z1;z2) явл. конечным => алгебр..
Следствие 6.7. P c F, z1, z2,…..,zn . Тогда расширение P c P(z1;z2;……;zn) явл. конечным и алгебраичным расширением поля Р.
Док-во: n=1 P(z1) – конечное алгебраич.
n=k P(z1, z2,…..,zk) - конечное алгебраич. расшир. Р.
n=k+1 P(z1, z2,…..,zk,zk+1) = P(z1, z2,…..,zk)( zk+1).
Т.к. zk+1 алгебр. над P, то он алгебр. и над P(z1, z2,…..,zk).
Тогда
P(z1,
z2,…..,zk)(
zk+1)-
простое расширение P(z1,
z2,…..,zk)
с помощью алгебр. эл-та zk+1
Имеем P(z1,
z2,…..,zk,zk+1)
P(z1,
z2,…..,zk)
конечное, а по посылке индукции P(z1,
z2,…..,zk)
– конечное
P
=> P(z1,
z2,…..,zk,zk+1)
P.
Конечное расширение явл. алгебраическим.
Св-во 6.8. Классы конечных и классы конечно порождённых алгебраических расширений совпадают.
Док-во: Р с Т с F и [T:P]=n. z1, z2,….,zn – базис T над P.
Т.к. Т – поле, то, очевидно, что Т= P(z1, z2,…..,zn) => Т – алгебраическое расширение Р. Пусть Т- конечно порождающее алгебраическое расширение Р. Тогда по 6.7. Т – конечно.
Т. 6.9. Пусть дана цепочка расширений P c Т с F. Тогда расширение явл. алгебраическим тогда и только тогда, когда расширение Р с Т и Т с F - алгебраические.
Док-во: 1) Пусть P c F – алгебр. .
Р
с Т
.
.
(P[x]
c
T[x])
f
– корень g(x)
f – алгебраичен над Т => T c F - алгебр..
2) Пусть Р с Т и Т с F - алгебраические.
Т
с F
=>
a0,
а1,….,
аn
T,
аn
.
f – корень g(x)= a0, а1x,…., аnxn
a0, а1,…., аn – алгебраические над Р. Тогда по 6.8. Р(a0, а1,…., аn)[x] и f - корень g(x), то f – алгебраический над Р(a0, а1,…., аn). Имеем Р(a0, а1,…., аn)(f) ⊃ Р(a0, а1,…., аn) с помощью примитивного алгебраического эл-та. Это расширение конечное Р(a0, а1,…., аn)⊃Р
Следствие: Алгебраическое расширение алгебраического расширения явл. алгебраическим расширением.
Р с Т – алгебраическое расширение и Т с F – алгебраическое расширение => Р c F - алгебраическое расширение.
12. Поле алгебраических чисел.
Лемма
7.1.
Пусть Р c
F
и u,
v
. Тогда P(u;v)
явл. подполем в К , где К – мн-во всех
алгебраических над Р эл-тов из
(u,v
- алгебраичны над
Из § 6(Алгебраические расширения) => P(u;v) – конечное алгебраическое расширение поля Р, значит все эл-ты из расширения P(u;v) алгебраичны над Р => P(u;v) с К (подмножество).
Т. 7.2 В обозначениях Леммы 7.1 К является полем.
Док-во:
Возьмём
Они принадлежат P(u;v)
, кот. само содержится в К. =>
u+v
u-v
K – замкнуто относительно сложения и умножения эл –тов
1
u u-1
0
(-u)
Аксиомы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности выполняются в К так как они выполняются в F => К – поле.
Р
с
=> Р с К – расширение полей.
Обозначение
7.3.
В обозначении 7.2 и 7.2 К=
F
и называется алгебраическим замыканием
поля Р в поле F.
Обозначение
7.4.
Т.к. имеет место расширение Q
c
R.
Тогда
R
– алгебраическое замыкание поля Q
в поле R.
Q c C => R c
Алгебраическое замыкание R и являются алгебраическими расширениями Q и не являются конечными расширениями.
Имеем
Q
c
R
c
. Q
c
C
=>
R
является алгебраическим расширением
R не является конечным расширением Q. По признаку Эйзенштейна рn(х)=xn-2 неприводим.
[Q(
):Q]=n
Q(
)
c
QR
и эл-ты 1,
,…..,
R
линейно независ.
Получим
R
линейно независимых эл-тов на Q2.
[ R:Q]=m
T.7.7 - алгебраическое замкнутое поле!.
Док-во:
Возьмём р(x)=
a0,
а1x,….,
аnxn
[x],
т.е. возьмём
многочлен с коэффициентами из
алгебраического замыкания.
Т.к.
поле С комплексных чисел алгебраически
замкнуто, то
такое, что z-
корень р(х).
Эл-ты
a0,
а1,….,
аn
.
В таком случае по определению, они все
алгебр. над Q.
Тогда по 6.7(
P
c
F,
z1,
z2,…..,zn
. Тогда расширение P
c
P(z1;z2;……;zn)
явл. конечным и алгебраичным расширением
поля Р) расширение Q(a0,
а1,….,
аn)-
алгебраическое расширение Q.
Но тогда Q(a0,
а1,….,
аn)(z1)
– простое расширение Q(a0,
а1,….,
аn)
с примитивмым алгебраическим эл-том z
. Имеем, зная, что оно конечно, [Q(a0,
а1,….,
аn,z):
Q(a0,
а1,….,
аn)]=m.
Мы отмечаем, что [Q(a0,
а1,….,
аn):Q]=k
(конечно). Тогда [Q(a0,
а1,….,
аn,z):
Q]=
m
=> оно алгебраическое расширение Q
=> z
– алгебраический эл-т над Q
=> z
=>
-
алгебраически закнуто.
Следствие 7.8 Пусть поле Р является алгебраическим замыканием поля F. Тогда алгебраическое замыкание F является алгебраически замкнутым полем.
Док-во:
В предыдущем док-ве заменить Q
P,
C
F,
F
Опр.7.9 – поле алгебраических чисел.
Р с Т . . (P[x] c T[x])
f – корень g(x)
f – алгебраичен над Т => T c F - алгебр..
2) Пусть Р с Т и Т с F - алгебраические.
Т с F => a0, а1,…., аn T, аn .
f – корень g(x)= a0, а1x,…., аnxn
a0, а1,…., аn – алгебраические над Р. Тогда по 6.8. Р(a0, а1,…., аn)[x] и f - корень g(x), то f – алгебраический над Р(a0, а1,…., аn). Имеем Р(a0, а1,…., аn)(f) ⊃ Р(a0, а1,…., аn) с помощью примитивного алгебраического эл-та. Это расширение конечное Р(a0, а1,…., аn)⊃Р
Следствие: Алгебраическое расширение алгебраического расширения явл. алгебраическим расширением.
Р с Т – алгебраическое расширение и Т с F – алгебраическое расширение => Р c F - алгебраическое расширение.