45. Главные идеалы. Кольца главных идеалов. Определение и примеры.

Пусть К-кольцо, а из К. Обозначим (а)={k a|k K} тогда (а) идеал К, который называется главным идеалом, порожденным элементом а.

Док-во:

k₁ a, k₂ a (a)

k₁ a+k₂ a=(k₁+k₂)a (a)

k K k(k₁a)=(kk₁)a (a)

Теорема: Кольцо Z – это кольцо главных идеалов, т.е. любой идеал в Z явл. Главным

Док-во: Пусть I идеал в Z, возможны 2 случая

1. I={0}; I=(0) главный идеал нуля

2. I {0}

Рассмотрим все ненулевые элементы из I и их модули.

Среди них выберем наименьшее а, по теореме о делении с остатком

Для любого b из I, b=аq+r, где q,r , 0 r<a.

r = b + ( - q ) a => r I, 0 r<a.

По выбору а, r не может быть натуральным, значит r = 0, значит b=a q

I = ( a )

Теорема: Пусть P поле. Тогда Р[х] – кольцо главных идеалов

Док-во: Пусть I идеал Р[х]

1. I={0} тогда I=(0)

2. I {0}

Рассмотрим deg f(x), таких, что f(x) I\{0} и найдем многочлен f₀(x), у которого степень найменьшая.

Для любого многочлена h(x) I выполним деление с остатком на f₀(x)

h(x)= f₀(x) q(x)+r(x)

q(x), r(x) P[x], 0 deg r(x) < deg f₀(x) или r(x) 0

r(x)=h(x)+(-q(x)) f₀(x) => r(x)

по выбору f₀(x), deg r(x) не может быть меньше f₀(x) значит r(x) 0, значит

h(x)= f₀(x)q(x)=>h(x) (f₀(x)); I=( f₀(x))

Теорема: Пусть К произвольное кольцо. А из К. Тогда множество I={k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s|k_i K, a_i A} является идеалом кольца К

Док-во: Возьмем k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s I

a₁+ a₂+…+ a_s

k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s-( a₁+ a₂+…+ a_s)=(k₁- )a₁+(k₂- )a₂+(k_s- )a_s

Для любого k из К

k(k₁a₁+k₂a₂+…k_sa_s)=(kk₁)a₁+(kk₂)a₂+…+(kk_s)a_s

По критерию идеала I идеал.

Св-во: К кольцо, I идеал. Тогда смежный класс а+I = I  a

Док-во: 1) а+I=I т.к. 0 то a+0 a+I=I => a

2) a Для любого b a+I, b=a+a₀, a₀ => a+I C I

C другой стороны I=0+I (смежные классы или совпадают, или пересекаются)

I и а+I – это смежные классы, не пересекаться они не могут, т.к. а+I C I значит они совпадают.

46. Естесственный гомоморфизм кольца на его фактор-кольцо.

Пусть <K₁;+; > и <K₁; ; >-кольца. Отображение f:K₁ K₂ наз. гомоморфизмом колец, если оно сохраняет операцию, т.е.

Опред: Гомоморфизм f колец наз. -- вложением, если f- инъекция; --эпиморфизмом, если f- сюръекция; -- изоморфизмом, если f- биекция.

Св-во: Пусть К₁ и К₂ – кольца и f:K₁ K₂ гомоморфизм, тогда

- подкольцо, К₁ f( ) – подкольцо К₁

- подкольцо, К₂ f^-1( ) – подкольцо К₁

I₂ – идеал, К₂ f^-1( ) – идеал К₁

47. Максимальные идеалы. Фактор-кольцо по максимальному идеалу.

Опред: К-кольцо. Его идеал I наз. максимальным, если из того, что I₁ идеал К такой, что I C I₁ C K, следует, что I₁=I или I₁=K

Пример:

(6) С Z – не явл. максимальным.

(6) С (2) С (Z)

Теорема:

В любом кольце К любой идеал I содержится в нек. максимальном идеале.

48. Простые идеалы. Фактор-кольцо по простому идеалу.

Определение: Пусть К кольцо, элемент а из К наз. делителем нуля если: 1) а 0, 2) b из К\{0} такое что b a=0

Свойство: Обратимый элемент кольца не может быть делителем нуля (в частности в поле нет делителей нуля)

Док-во: Пусть а обратим в кольце К, значит существует а^-1 из К

От противного Допустим что а делитель нуля, то есть существует b из К\{0} такое что b a=0|

b

b=0

противоречие

Определение: Пусть К кольцо. Идеал I кольца К наз. простым, если, из того, что , следует, что или

Свойство: Если I простой идеал кольца К, то К/I не имеет делителей нуля

Док-во: От противного Пусть а+I и b+I К/I\{0+I} и (а+I)(b+I)=0+I

Тогда (ab)+I=I

ab => a или b

a+I=0+I или b+I=0+I

противоречие

Св-во:

К –кольцо, I – идеал, К/I без делителей нуля, следовательно идеал I простой идеал K.

Св-во: Главный идеал nZ=(n) явл простым идеалом кольца Z  n простое число.