27.Прообраз нормального делителя при гомоморфизме

Св-во. Гомоморфный прообраз нормального делителя, является нормальным делителем.

Пусть дан гомоморфизм <G₁, >; <G₂,*> — группа. f: G₁ G₂ — гомоморфизм и N₂ G₂ f^-1 (N₂) <G₁

Док-во. Т.к. N₂ G₂ f^-1 (N₂) <G₁. Нужно доказать, f^-1 (N₂) выдерживает сопряжение с g₁ G₁

h₁ f^-1 (N₂)[f(n₁) N₂]. g₁ G₁ (g₁^-1n₁g₁) f^-1 (N₂).

f(g₁^-1n₁g₁)=f(g₁^-1)*f(g₁)*f(n₁)=(f(g₁))^-1*f(n₁)*f(g₁) N₂f(g₁^-1n₁g₁) N₂/(f(g₁))^-1=g₂^-1, f(g₁) N₂ , f(g₁)=g₂ /  g₂^-1 *n₂*g₂  (g₁^-1n₁g₁) f^-1 (N₂)

28. Композиция гомоморфизмов

Композиция гомоморфизмов групп является гомоморфизмом групп. <G₁, >; <G₂,*>, <G3, >.

f:G₁→G₂ h:G₂→G₃ — гомоморфизм, тогда hf ÷G₁→G₃— гомоморфизм.

Док-во. hf, G₁→G₃ — определено.

g₁, g₁~ (hf)( g₁g₁~)=( hf)g₁ ( hf) g₁~ (hf)( g₁g₁~)=h(f(g₁g₁~))=/f—гомоморфизм/ =h(f(g₁)*f(g₁~))= /g₂= f(g₁), g₂~=f(g₁~)/=h(g₂*g₂~)= /h— гомоморфизм/ =h(g2) h(g2~)= =h(f(g₁)) h(f(g₁~))=( hf)g₁ ( hf) g₁~

29.Изоморфизм групп. Определения, примеры, простейшие свойства.

Опр. 12.1Если отображение f из <G₁, >; <G₂,*> — группы.

f:G₁G₂ — гомоморфизм, инъективно, то гомоморфизм f— вложение G1 в G2.

Опр. 12.2Если в <G₁, >; <G₂,*> — группы. f: G₁ G₂ — гомоморфизм, отображение f является сюръективным, то гомоморфизм f называется эпиморфизмом.

Опр.12.3Если гомоморфизм <G₁, >; <G₂,*> — группы. f: G₁ G₂ — гомоморфизм, является и вложением, и эпиморфизмом, то группы G₁, G₂ называются изоморфными при помощи изоморфизма f. Или пишут: G₁ G₂.

Св-во. 12.6 Каждая группа изоморфна сама себе.

Док-во. Пусть дана группа <G₁, >. Докажем, что G₁ id G₁

Id:G₁→G₁; x→x (тождественное отображение). id (g₁ g₁~)= g₁ g₁~=id(g₁ )id(g₁~) (сохраняет операцию). Заметим, что id —биекция.

Теорема.12.7 Пусть даны группы <G₁, >; <G₂,*>, G_{1 f} G₂, тогда G_{2 f}^-1 G₁.

Док-во. По условию f: G₁ G₂ —изоморфизмf—биекция f ^-1: G₂ G_1. f ^-1 f=idG₁. f ^-1 —биекция. Покажем, что f ^-1сохраняет операцию

g₂, g₂~ f ^-1(g₂*g₂~)=f ^-1(g₂)f ^-1(g₂~). Т.к.f—биекция, то g₁, g₁~ из G₁/f(g₁)=g₂ и f(g₁~)=g₂~. Тогда имеем f ^-1(g₂* g₂~)= f ^-1 (f(g₁)* f(g₁~))=/ f —гомоморфизм/= f ^-1 (f(g₁)  f(g₁~))=(f ^-1 f)( g₁ g₁~)= =idG₁(g₁ g₁~)= g₁ g₁~=/g1= f ^-1 (g2), g₁~= f ^-1 ( g₂~)/= f ^-1 ( g₂)  f ^-1 ( g₂~).

Теорема.12.8 Отношение «быть изоморфным» является отношением эквивалентности на множестве групп.

Док-во. 1)рефлексивность G G G (12.6)

2)симметричность G_1,G₂ G₁ G₂ G₂ G₁ (12.7)

3)транзитивность G_1,G_2, G₃ G_{1 f} G₂ и G_{2 h} G₃  G_{1 h f} G₃ h f G₁ G₃ h f — гомоморфизм (12.3). По условию h f — биекция  h f — изоморфизм.

Теорема 12.9 Пусть f: G₁ G₂ — вложение. Тогда f₁: G₁  f (G₁ ): x→f(x), (т.е. x G₁(f₁(x))=f(x)) то тогда f₁ является изоморфизмом групп G и f(G₁).

Док-во. 1) отображение f₁ инъективно. X₁ x₁~ допустим f₁(x₁)= f₁(x₁~)f(x₁)= f (x₁~), что противоречит тому, что f инъективно. Значит f₁(x₁) f₁(x₁~)

2) f₁ сюръекция  f₁ — изоморфизм.