5. Минимальные алг. Элементов и их свойства

1. Для любого алгебраического элемента из поля F существует неприводимый унитарный многочлен Р(Х)Э Р[х], корнем которого является z.

Док. Z- алгебраический над Р, значит существует f(x) ∈Р[х] , f(x)не равный 0,f(z)=0. Если он равен 0, значит f=a_n∙p_i[x] ∙…….∙p_s[x], где аn- старший коофициент в f. Все р_i- неприводимые и унитарные.

f(z)=p_i(z) ∙………..∙p_s(z), p_s(z₀=0,значит существует p_i(z)=0 . p_i(x) – искомый.

2 Неприводимый унитарный многочлен от х такой, что p[x]-называется минимальным многочленом эл. z. Пусть p[x]- минимальный многочлен, f(x) ∈p[x] значит f(z)=0 , f(x ) кратен p(x).

1. Пусть f(x ) кратен p(x), тогда f(x)=p(x) ∙q(x) и f(z)=p(z) ∙q(z)=0 , q(z)=0 и f(z)=0

2. Пусть f(x ) не кратен p(x), р(х)-неприводимый .Любой многочлен либо кратен неприводимому, либо взаимопрост с ним. НОД(f(x); p(x)=1

u(x)∙f(x)+v(x) ∙p(x)=1 и если p(z)=0, то u(z) ∙f(z)=1 и f(z) не равно 0.

3 У каждого алгебраического элемента существует только один минимальный многочлен.

ДОК. Если p(z) и q(z) минимальные мн. элемента z . Если q(х) минимальный то p(х) кратен q(х), если p(z) минимальный то q(х) кратен p(х). Значит p(х)= q(х).

6. Степень и базис простого алгебраического расширения.

Опр: Пусть - расширение поля и z . Обозначим через =

Опр: называется простым расширением поля с помощью «примитивного» эл-та z.

Опр: подполе Эл-т z называется алгебраическим над , если такой ненулевой многочлен , что f(z)=0 (является корнем f(x)). Если эл-т не является алгебраическим, то его называют трансцендентным над

Опр: Рассм. как линейное пространство на .Если это пр-во имеет конечную размерность n= , то говоря, что , расширение степени поля . Обозначим n=[ ] – степень расширения.

Т: Конечное расширение конечного расширения является конечным расширением.

Пусть .

[ ]=m базис над

[ ]=n базис над

Тогда мн-вом таких произведений , i=1, , j=1, является базис расширения.

над и при этом степень расширения [ ]=m n=[ ] [ ]

Док-во: 1) Докажем, что система – полна.

- базис над

f= ,

- базис над

f=

2) Докажем линейную независимость.

,

Но – это базис над => лин. независим. Это означает, что для

Но – это базис над значит для лин. независим => =0 => тривиальная лин. комбинация => лин. независ.

7. Исключение ирр. В знаменателе(через векторные пространства)

Если дано f(z)/g(z) и z алгебраическое над Р, р(z) наименьший полином степень которого равна n, то расширение P(z) над Q имеет размерность n и базисом является 1, z,z²,z³,……..,z^n-1. Значит эта дробь единственным образом раглагается в виде а₀, а₁z,а₂z²,а₃z³,……..,а_n-1z^n-1, если минимальный многочлен эл-та z имеет степень n.Освободится от ирр. в знаменателе α/α-1 если а корень f(z)=x³+x-3. Базис 1, α, α². α/α-1=А∙1+В∙α+С∙α² α= (А∙1+В∙α+С∙α²)∙( α-1)

α=А∙α+ В∙α²+ С∙α³-A –B∙α-C∙α²

выразим α³ через f(z). α³=3-α, подставим: α=α²∙ (B-C)+ α∙ (A-C-B)+3∙C – A

составим систему уравнений из коофициентов при а и решим ее.

B-C=0 B=C B=1

A-C-B=1 A=3C A=3 и подставим полученные коофициенты: α/α-1=3+ α+α²

3C-A=0 3C-C-C=1 C=1