44.Числовые характеристики дискретных св и их свойства.

Пусть проводится некоторый эксперимент с пространством элементарных событий . Пусть для него определена ДСВ так, что . Предположим, что её ряд распределения имеет вид .

Математическое ожидание. Математическим ожиданием ДСВ называется ее средневзвешенное значение с весами-вероятностями: . Отметим, что по определению математическое ожидание случайной величины (говорят также – генеральное среднее, среднее значение) не является случайной величиной. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине, то есть ;

2) постоянный множитель можно выносить за символ математического ожидания, то есть ;

3) математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть, ;

4) математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то есть .

Дисперсия. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания, то есть . Дисперсия используется для определения величины «разброса» («рассеяния») значений случайной величины относительно значения ее математического ожидания. Из определения следует, что дисперсия является неотрицательной случайной величиной. Она обладает следующими свойствами:

1) дисперсия постоянной величины равна нулю, то есть ;

2) постоянный множитель выноситься за символ дисперсии с возведением его в квадрат, то есть ;

3) дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть ;

4) дисперсия произведения двух независимых случайных величин может быть найдена по формуле: ;

5) справедлива вторая формула для вычисления дисперсии: .

45. Математическое ожидание и его свойства

Математическое ожидание. Математическим ожиданием ДСВ называется ее средневзвешенное значение с весами-вероятностями: . Отметим, что по определению математическое ожидание случайной величины (говорят также – генеральное среднее, среднее значение) не является случайной величиной. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине, то есть ;

2) постоянный множитель можно выносить за символ математического ожидания, то есть ;

3) математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть, ;

4) математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то есть .

Математическое ожидание НСВ определяется следующим соотношением . Математическое ожидание НСВ обладает всеми теми же свойствами, что и математическое ожидание дискретной случайной величины.

Отметим, что в качестве показателя центра группировки случайной величины наряду с ее математическим ожиданием используется также медиана.

46. Дисперсия СВ и ее свойства.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания, то есть . Дисперсия используется для определения величины «разброса» («рассеяния») значений случайной величины относительно значения ее математического ожидания. Из определения следует, что дисперсия является неотрицательной случайной величиной. Она обладает следующими свойствами:

1) дисперсия постоянной величины равна нулю, то есть ;

2) постоянный множитель выноситься за символ дисперсии с возведением его в квадрат, то есть ;

3) дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть ;

4) дисперсия суммы (или разности) двух зависимых случайных величин определяется из соотношения (общая формула) , где - ковариация этих двух случайных величин;

5) дисперсия произведения двух независимых случайных величин может быть найдена по формуле: ;

6) справедлива вторая формула для вычисления дисперсии: .

Пусть задан ряд распределения ДСВ : . В соответствии с определением, дисперсия этой величины равна . Основным недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

49. Метод моментов. Оценка методом моментов параметров нормального распределения.

Предположим, что первые m начальных моментов можно выразить через параметры распределения при помощи соотношений вида . То есть в случае дискретной случайной величины А в случае непрерывной случайной величины . Так как в системе число уравнений совпадает с числом неизвестных то, решив её относительно неизвестных параметров распределения (предполагается, что это возможно), получим систему уравнений . Однако, в полученных соотношениях нам снова неизвестны истинные значения начальных моментов . Поэтому приходится заменить эти неизвестные нам значения их состоятельными и несмещёнными оценками . Таким образом, оценками неизвестных параметров распределения, в соответствии с методом моментов, называются величины .

Рассмотрим типичный пример. Пусть известно, что генеральная случайная величина имеет нормальное распределение (то есть ). Закон распределения данной непрерывной случайной величины зависит от двух параметров . Предположим, что истинные значения этих параметров нам неизвестны. Применим для оценки их значений метод моментов. В данном случае . Поэтому первые два начальных момента выражаются следующим образом: . Упростим выражения в правых частях равенств. Для момента первого порядка имеем:

.

В последнем выражении первое слагаемое содержит известный интеграл Пуассона , а интеграл во втором слагаемом равен нулю как интеграл от нечётной функции в симметричных (относительно нуля) пределах интегрирования. С учётом вышесказанного имеем: .

Соответственно, для момента второго порядка имеем:

, учитывая, что .

Вычислим третий интеграл:

. Значит .

Имеем систему В соответствии с методом, заменим неизвестные начальные моменты первого и второго порядка их оценками, тогда - оценка математического ожидания в виде выборочного среднего. Соответственно оценка дисперсии.

50. Метод максимального правдоподобия. Функция правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия. Оценки параметров нормального распределения методом максимального правдоподобия.

Пусть - случайная выборка. Напомним, что элементы случайной выборки независимы в совокупности. Следовательно, в случае дискретной генеральной случайной величины . А в случае непрерывной генеральной случайной величины . Причём распределение каждой из случайных величин совпадает с распределением генеральной случайной величины (то есть или ).

Функцией правдоподобия называется функция, определяемая для дискретной генеральной случайной величины как

. Для непрерывной генеральной случайной величины соответственно имеем

.

Происхождение термина «функция правдоподобия» объясняют следующим образом: чем правдоподобнее (вероятнее) при фиксированном значении параметров распределения полученная конкретная выборка, тем большее значение принимает функция правдоподобия. То есть при фиксированных значениях координат вектора функция является как бы мерой правдоподобия для каждой конкретной выборки .

Суть метода максимального правдоподобия состоит в том, что оценки неизвестных параметров распределения при имеющейся выборке определяются из условия , где через обозначено множество всех допустимых значений вектора параметров распределения.

На практике часто вместо функции правдоподобия используют так называемую логарифмическую функцию правдоподобия: . В этом случае оценки параметров распределения получают из условия: .

Алгоритм метода следующий:

1. выписать необходимые условия экстремума ;

2. решив систему, найти критические точки (заметим, что решениями следует считать лишь те , все координаты которых действительно зависят от элементов конкретной выборки);

3. среди решений, лежащих внутри области допустимых значений найти точки максимума;

4. если внутри области точек максимума нет, нужно попробовать найти их на границе области.

51. Интервальная оценка. Доверительная вероятность. Ошибка оценки.

Вычисленная на основе выборки точечная оценка неизвестного параметра генеральной совокупности практически никогда не совпадает с истинным значением и поэтому на практике удобнее пользоваться так называемыми интервальными оценками.

Определение: Интервальной оценкой параметра называют доверительный интервал , который с априори заданной (близкой к единице) вероятностью накрывает (содержит) точное неизвестное значение .

Заметим, что число называется величиной ошибки оценки параметра. Величина называется доверительной вероятностью. Её значение обычно равно 0,9 или 0,95 или 0,99. Говоря другими словами, при заданном уровне значимости выполняется: . Отметим, что оценка , получаемая по случайной выборке , как и ошибка оценки , является случайной величиной. Её значение зависит от выбранной вероятности и полученных конкретных элементов выборки. Для получения доверительного интервала наименьшей длины при заданном объёме выборки и фиксированной величине вероятности следует выбирать эффективную или хотя бы асимптотически эффективную оценку .

53. Выборка (случайная, конкретная).

Выборкой объёма называется кортеж (упорядоченная последовательность) наблюдений за генеральной случайной величиной.

Определение_6.3. Конкретной, будем называть выборку, элементами которой являются действительные числа – результаты отдельных наблюдений за данной случайной величиной.

Конкретные выборки будем обозначать следующим образом: .

Определение: Случайной выборкой будем называть всю мыслимую совокупность конкретных выборок.

Таким образом, конкретная выборка есть отдельный элемент (или одна из возможных реализаций) случайной выборки. Можно дать альтернативное определение случайной выборки.

Определение: Случайная выборка есть кортеж независимых, одинаково распределённых случайных величин, распределение каждой из которых совпадает с распределением генеральной случайной величины .

Если выборочные наблюдения конкретной выборки расположить в порядке возрастания (убывания) значений (то есть ранжировать), то получим так называемый вариационный ряд.

54. Вариационный ряд.

Если выборочные наблюдения конкретной выборки расположить в порядке возрастания (убывания) значений (то есть ранжировать), то получим так называемый вариационный ряд. Элементы вариационного ряда принято называть его вариантами.

Предположим, что в результате наблюдений за генеральной случайной величиной, получена конкретная выборка , по которой построен вариационный ряд . Будем считать, что упорядочивание произведено по возрастанию выборочных значений.

55. Оценка числовой характеристики (параметра). Оценки начальных (центральных) моментов.

Определение: Оценкой параметра (числовой характеристики) генеральной совокупности называется какая-либо функция от выборочных значений , которая в некотором, вполне определённом, смысле «близка» к истинному значению параметра (характеристики) .

Отметим, что любая оценка, по сути, является случайной величиной, так как зависит от результатов наблюдения за случайной величиной. Поэтому в некоторых случаях удобно пользоваться обозначением , явно подчёркивая её случайный характер.

Определение: Выборочной оценкой начального момента порядка называется математическое ожидание от степени обобщённой выборочной случайной величины, то есть .

Определение: Выборочной оценкой центрального момента порядка называется .