21)Схема Бернулли. Формула Бернулли.

В практической деятельности часто приходится проводить серии испытаний в одинаковых условиях. Пусть в каждом из этих испытаний нас интересует наступление (или не наступление) события A. При этом заранее оговаривается, что вероятность события A одна и та же во всех испытаниях и никак не зависит от исходов уже проведенных экспериментов. Такая ситуация в теории вероятностей носит название схемы Бернулли.

Обозначим вероятность успеха (появления события A) в конкретном эксперименте через . Тогда вероятность неудачи (не появления события A) равна . Требуется найти вероятность события, состоящего в том, что в серии из независимых испытаний событие A произойдет (будет зафиксировано) ровно раз. Решение данной задачи дает формула Бернулли: .

где C_n^k — число сочетаний, q = 1 − p.

22)Геометрическая вероятность соб-я и ее св-ва.

На практике возможен эксперимент, число исходов которого является бесконечным. В этом случае применяется геометрическая вероятность. Пусть исхлдом экспер-та м.б. соб-е, которому соответствует некоторая точка прямоугольника. Пусть соб-е А сост. в том, что рез-т экспер-та окажется в маленьком прямоугольничке. Обозначим через s площадь маленького прямоугольничка, а через S-площадь большого прямоугольника.

Опр. Геометрической вероятностью соб-я А называется отношение площадей s/S. Pr(A)=s/S

Замечание: Аналогичным образом введем понятие геометрической вер-ти для событий в пространстве.

Пусть соб-е А сост в том что в рез-те экспер-та точка попадает в меньший объем . Тогда геометрич вер-ть соб-я А(Pr(A))- отношение величины меньщего объема к большему

23) Ковариация двух св и ее св-ва.

Ковариация явл. главной характеристикой взаимозависимости 2-х случайных величин.

Опр. Пусть X(W), Y(W)-какие-то случайные величины. Ковариацией этих случайных величин называется число, равное математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от своего математического ожидания.

Найдем формулу нах-я ковариации удобную при решении практич. задач. Имеем: (перемножим все в квадрат. скобках ) (пользуемся св-вами мат. ожидания)

Основные св-ва ковариации:

1.

2.

3. Замечание:

4.Пусть X1(W), X2(W),…,Xn(W)-есть некоторые случайные величины такие, что для каждой пары этих случайных величин определены(существуют) некоторые ковариации.

Верно равенство: 5.Пусть X1(W), X2(W),…,Xn(W)-некоторая совокупность случайных величин, для каждой пары которых сущ. их ковариация:

Тогда определитель, составленный из попарных ковариаций-есть величина неотрицательная.

6. Для любых 2-х случ. вел. X(W), Y(W) верно св-во:

6. Если две случ. величины независимы, то их ковариация=0

Отсюда следует, что если ковариация каких-то 2-х случайных величин не равна 0, то этих случайные величины будут зависимы.

24)Аксиоматика Колмогорова.

Аксиоматику ТВ разработал рус. ученый Колмогоров.

Основные моменты:

Аксиоматика Колмогорова строится на базе аппарата теории множеств.

1)Вводится пространство элементарных соб-й

Опр. Пространсвом элементар-х событий называется некоторое конечное или бесконечное мн-во , эл-ты которого W называются элементарными событиями.

2)Вводится понятие событий:

Опр. Под событиями понимают любые подмнож-ва мн-ва . Если А и В-некоторые подмножества множества , А∩В=Æ, то говорят, что соб-я А и В являются несовместимыми.

Если А-некоторое подмнож-во , то множ-во \А назвается событием противоположным к соб-ю А. все множ-во называется достоверным событием, Æ называется невозможным событием(пустое мн-во).

3)Вводится понятие вероят-ти событий:

Опр. Вер-ю событий в аксиоматике Колмогорова называется вещественная функция, ставящая в соответствие каждому событию некоторое вещественное неотрицательное число, причем должны выполняться след. усл-я:

1. P( )=1

2. Если А∩В=Æ, то вер-ть их объединения должна равняться сумме вероятностей

Следствия из аксиом в ТВ:

1.Пусть А-некоторое событие, -событие противоположное А. Тогда сумма вероятностей=1=Р(А)+Р( ).

2.Если события попарно несовместны, то .

3. Если А и В два произвольных соб-я, кот. могут наблюдаться в данном экспер-те, то вер-ть объединения данных событий равна: P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(А∩В)