16)Вероятность появления хотя бы одного из n событий.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.

Док-во: Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁,А₂, ...,A_n. События А и

(ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

или

Ч а с т н ы й   с л у ч а й. Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ.

17)Случайные величины(св) и их св-ва. Примеры.

Рассмотрим некоторый эксперимент с пространством элементарных событий

. Зададим в множ-ве некотурую веществ. функцию

f:

Опр. Любая вещественная ф-ция, заданная на пространстве элементарных событий называется случайной величиной, если для любого вещественного числа x определена вероятность соб-я . Отметим, что в данном определении, события образуют различные множ-ва элементарных исходов на которых заданная вещественная функция X(W) (случайная величина X(W)) принимает значение меньше некоторого фиксированного действительного числа.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Опр. СВ X(W) называется дискретной случайной величиной, если она может принимать любое конечное, либо счетное множ-во значений.

Пусть X(W) есть дискретная случайная величина и пусть она пусть она может принимать значения х1,х2,…,хn. Если мы знаем с какими вероятностями данная случайная величина принимает свои возможные значения, то мы владеем всей информацией об этой случайной величине.

Опр. Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица соответствий между ее возможными значениями и вероятностями этих значений. Если известен ряд распределения ДСВ, то говорят, что задан закон распределения ДСВ.

Опр. СВ X(W) называется непрерывной случайной величиной если существует некоторая непрерывная вещественная функция, такая, что функцию распределения этой случайной величины можно представить в виде

Пусть X(W)-некот. непрерыв. случ. Величина. Найдем вер-ть сб-я состоящего в том, что эта случ. Вел. Примет знач-е на отрезке [x,x2) R

Вероятность соб-я можно записать в виде разностей вероятностей 2-х событий

Т. обр. получаем важное соотношение:

Замечание: Очевидно, что вероятность событий (вторая скобка круглая)

Вер-ть соб-я для непрерывной случ величины=0, из этого следует важное св-во: .

18)Перестановки и их св-ва.

Рассмотрим классич. задачу комбинаторики о числе всевозможных перестановок n объектов. Суть ее в следующем: пусть имеется n различных объектов(n: 1,2,…,n). Сколькими способами можно разместить эти объекты на n различных местах так, что бы на каждом месте размещался ровно один объект.

Теорема: существует всего n! различных способов размещения n объектов на n местах так, чтобы каждому месту соответствовал единственный объект. Кол-во перестановок n объектов-P(n)

P(n)=n!

n!=1*2*3*…*n

(0!=1)