Вопрос 4

Часть 1

Идеальный колебательный контур (LC-контур) — электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.

В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R, электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю.

Изменяющейся колеблющейся величиной является заряд конденсатора и напряжение на нем.Согласно правилу Ленца, возникает индукционный ток; он нарастает постепенно, но спустя некоторое время достигает максимума, к этому времени вся энергия конденсатора переходит в энергию катушки и справедливо: (C*U0^2)/2=(L*I0^2)/2

Вопрос 5

Часть 1

Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив математический маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h, ему сообщают потенциальную энергию Ep = m*g*h. Она полностью переходит в кинетическую энергию движения , когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. При колебаниях пружинного маятника кинетическая энергия движения груза переходит в потенциальную энергию деформированной системы. Величина полной энергии колеблющейся системы в любой момент времени равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии:

E = Ek+Ep

E = m*(v^2)/2 + k*(x^2)/2

omega nulevoe - w0

Поскольку скорость – это первая производная от координаты по времени, то:

v = -x0*w0*sin(w0*t + fi)

Учитывая, что k = m*w0^2 и подставив выражения для x и v, получим:

E = 0,5*m*(w0^2)*(x0^2)*kvadrat sin(w0*t + fi) + 0,5*m*(w0^2)*(x0^2)*kvadrat cos(w0*t + fi) = 0,5*m*(w0^2)*(x0^2)

То есть полная энергия системы, совершающей колебания, пропорциональна ее массе, квадрату амплитуды и квадрату собственной частоты. Так как силы, действующие на колеблющуюся частицу, являются консервативными, то ее механическая энергия остается постоянной. В процессе же колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Вопрос 6

Часть 1

В любой реальный колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действия которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие колебания называют затухающими.

В этом случае, уравнение движения для системы на рис.27.3 будет иметь вид

.

Учитывая, что а силу сопротивления, которая обычно пропорциональна скорости, можно записать как где r – коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления, уравнение движения приобретает вид

.

Перенося члены из правой части в левую, поделив уравнение на m и обозначив, получим уравнение в виде

(9)

где - частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствии сопротивления среды (собственная частота системы).

Коэффициент , характеризующий скорость затухания

колебаний, называется коэффициентом затухания.

Решение уравнения (9) имеет вид

(10)

где и - постоянные, определяемые начальными условиями - частота затухающих колебаний

Множитель в уравнении (10) называют амплитудой затухающих колебаний.

Кроме коэффициента затухание характеризуют и другими величинами. Найдем отношение амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период

.

Это отношение называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм – логарифмическим декрементом затухания

где Т – период затухающих колебаний. Для выяснения физического смысла возьмем некоторое время за которое амплитуда уменьшается в е раз (время релаксации). Тогда т.к. (из (11) ), то . Обозначим количество колебаний за время , тогда и , т.е. логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Кроме того, для характеристики колебательной системы часто употребляется такая величина

(12)

называемая добротностью колебательной системы (добротностью осциллятора). Добротность пропорциональна числу колебаний

, совершаемых системой за то время

, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.