Вопрос 7

Часть 1

Затухающие колебания возникают при наличии сил сопротивления (трения) и обусловлены рассеянием (диссипацией) энергии. Если убыль энергии не восполняется за счёт работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем, наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

Fсопр=-r·dx/dt, (30)

где r - постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила сопротивления и скорость имеют противоположные направления, следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для движения груза на пружине при наличии сил сопротивления:

m·dx2/dt2=-kx-r·dx/dt (31)

Введя обозначения: 2β=r/m, ω0^2=k/m, получим однородное дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

D^2x/dt^2+2β·dx/dt+ω0^2x=0, (32)

где β - коэффициент затухания, ω0 - собственная частота колебаний, т.е. частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при r=0).

Решение уравнения (32) проведем через анализ рассеяния энергии. Для этого сначала найдем полную энергию гармонического осциллятора при отсутствии сил сопротивления. Подставив в выражение для кинетической энергии скорость осциллятора (3), получим:

Ek=mv^2/2=mω0^2A^2sin^2(ω0t+α)/2 (33)

Потенциальная энергия упругой деформации после подстановки x из формулы (1) имеет следующий вид:

Ep=kx^2/2=kA^2cos^2(ω0t+α)/2 (34)

Выразив из формулы ω0^2=k/m коэффициент k=mω0^2 и подставив его в (34), получим выражение для полной энергии гармонического осциллятора:

E=Ek+Ep=kA^2/2 (35)

Полная энергия гармонического осциллятора сохраняется в отсутствие сил сопротивления и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Таким образом, процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Средние (за период колебаний) значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы, и каждое из них равно E/2.

Выясним, как влияют силы сопротивления на энергию колебательной системы (осциллятора). Будем при этом считать, что сила сопротивления настолько мала, что вызываемые ею потери энергии за один период относительно малы. Потеря энергии телом определится как работа, произведённая силой сопротивления. За время dt эта работа, а с ней и потеря энергии dE равна произведению силы сопротивления (Fсопр=-r·dx/dt) на смещение тела (dx=vdt):

dE=Fсопрdx=-r·dx·vdt/dt=-r·v2·dt,

откуда dE/dt=-r·v2=(-2r/m)·(mv2/2) (36)

При сделанном нами предположении о малости сил сопротивления мы можем в (36) заменить кинетическую энергию половиной полной энергии осциллятора E:

dE/dt=-2βE (37)

Перепишем это выражение в виде:

dE/E=d(lnE)=-2βdt

Путем интегрирования находим, что lnE=-2βt+const, окончательно:

E=E0e-2βt, (38)

где E0 – значение энергии в начальный момент времени (t=0).

Вопрос 8

Часть 1

Добро́тность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

Q = (2*pi*y0*W)/Pd, где y0 - резонансная частота колебаний, W - энергия, запасённая в колебательной системе, Pd - рассеиваемая мощность.