37. Эмпирическая функция распределения.

Эмпирическая функция распределения признака Х называется функция, определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х<x, т.е.

Свойства:

1. – неубывающая функция

2. 

3. , если х;

Эмпирическая ФР является ступенчатой функцией.

38. Числовые характеристики вариационного ряда.

Средней арифметической признака Х называют сумму произведений вариант признака на соответствующие им частоты.

Свойства:

1. 

2. k-

3. 

4. 

5. 

Для характеристики вариаций значения признака используется:

1. Вариационный размах R=Xmax – Xmin

2. Среднее линейное отклонение

3. Дисперсия

Свойства аналогичны Д(х)

4. Коэффициент вариации – безразмерная характеристика = ν*=Sx/

Если коэффициент вариации высок(более 100%) для признака с неотрицательными вариантами, то говорят что значения признака являются неоднородными.

39. Точечная оценка параметров распределения. Свойства.

Пусть Х – генеральная совокупность, закон распределения которой дается f(x,Ѳ) – в случае неправильной случайной величины Р(Х=хi, Ѳ), где Ѳ (тете) параметр распределения.

Для оценки параметра распределения Ѳ используются выборочные данные (х1, х2, …хn), каждый элемент выборки можно рассматривать как отдельную случайную величину, закон распределения которой совпадает с законом распределения генеральной совокупности.

Определение: Точечной оценкой параметра называется всякая функция результатов наблюдений над признаков Х, с помощью которой ссудят о значении параметра Ѳ

– функция, которая переводит в функцию выборки.

Так как Х1, Х2, … , Хn – СВ, следовательно точечная оценка также является СВ, ЗР которой совпадает с ЗР исследуемого признака. Для оценки одного и того же параметра распределения можно составить несколько функций выборки.

На практике применяются функции выборки, удовлетворяющие свойствам: несмещённости, состоятельности и эффективности.

1. Несмещенность оценки. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

М ( )= Ѳ. В противном случае оценка называется смещенной и допускает систематическую ошибку. Различают абсолютную и асимптотическую несмещенность.

Абсолютная несмещенность М ( )= Ѳ выполняется при любых n, асимптотическая – выполняется при n стремящийся к ∞.

2. свойство состоятельности – оценка называется состоятельной, если Если оценка является несмещенной, а ее дисперсия стремится к нулю, то при n стремящийся к бесконечности также является состоятельной.

3. эффективность. Смещенная оценка параметра является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра. Коэфициент эффективности определяется по формуле:

где Д( – дисперсия эффективной оценки, Д(Ѳ) – проверяемой оценки.

40. Метод максимального правдоподобия получения точечной оценки.

метод максимального правдоподобия является одним из основных методов получения оценок. (Фишер). Основа метода составляет функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности, либо вероятность совместного наступления результатов выборки х1, х2, …хн – выборочные данные, отдельные СВ с одним и тем же ЗР, тогда совместный ЗР этих СВ (выборочных данных) имеет вид: Ѳ)=P(Х1=х1, Х2=х2, … , Хн=хн, Ѳ) = , так как Х1, Х2, … Хн – независимые СВ. – дискретная СВ.

Ѳ)=f ( , Ѳ) = – непрерывная СВ.

На практике для оценки параметров распределения используется логарифмирование функции максимального правдоподобия, тогда