49.Статисическая проверка гипотез:проблема выбора критической области. Ошибки 1 и 2 рода.

Критической наз. область при попадании в которую статистики критерия основная гипотеза (Но)отвергается .

Допустимой наз-ся область при попадании в которую статистики критерия основная гипотеза (Но) не отвергается

Критич область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы:

1)односторонняя соответствует Н1 вида (2) и (3)

2)двусторонняя соответствует Н1 вида (1) нормальной

Тα- граница критической области, α- величина критической области(рис ниже)

Левосторонняя Н1 : М(Х) ˃М(У)

Правосторонняя Н1 : М(Х) ˂М(У)(рис ниже)

Границы крит. области соответствуют критическому значению ЗР статистики критерия

Двусторонняя критич.область r1 : М(Х) ≠М(У)

Если значение статистики критерия рассчитанная по имеющийся выборке оказывается в критич области, то основная гипотеза отвергается на уровне значимости α,если в допустимой области ,то основная гипотеза не отвергается на уровне значимости.

В результате проверки статистич. гипотез возможны следующие исходы:

1.Основная гипотеза верна и по выборочному числовому критерию (статистике критерия) она не отвергается

2. Основная гипотеза верна,но она отвергается по выборочному числовому критерию

3.Основная гипотеза ошибочна ,но она не отвергается по выборочному числовому критерию

4.основная гипотеза ошибочна и отвергается по выборочному числовому критерию.

α – Ошибка,соответствующая 2 исходу наз-ся ошибкой 1 рода,это ошибки,связанные отвержением верной гипотезы

β – ошибка,соответствующая 3 исходу наз-ся ошибкой 2 рода,это ошибка ,когда применяется неверные гипотезы.

При уменьшении ошибки 1 рода увеличивается ошибка 2 рода и при уменьшении ошибки 2 рода увеличивается ошибки 1 рода.

Суммарное сокращение ошибок 1 и 2 рода возможны прежде всего:

1)при увеличении объема выборки

2)при оптимальном выборе границы критической области .

Сα , С β – цена ед. ошибки первого и второго рода соответственно.

Вероятность недопущения ошибки 2 рода наз-ся мощностью критерия.

50.Статистическая проверка гипотез :сравнение математических ожиданий 2 генеральных совокупностей при известных σ2х , и σ2у

Обозначим через m и n объемы малых независимых выборок (n˂30,m˂30),по которым найдены соответствующие выборочные средние х , у и выборочные дисперсии Ŝ²х,Ŝ²у.Генеральные дисперсии хотя и неизвестны ,но предполагаются одинаковыми.

Проверяется нулевая гипотеза Но:М(Х)=М(У).Конкурирующая гипотеза Н1 может быть трех видов:

а) М(Х)≠М(У)

б) М(Х)˃М(У)

в) М(Х)˂М(У)

Однако случай в) сводится к случаю б) путем перестановки х и у и не будет рассматриваться отдельно .

Во всех случаях вычисляется статистика критерия

Для проверки берутся критические точки tкр распределения Стъюдента с k = m+n-2 степенью свободы и уровнем значимости α,причем в случае а)-для двусторонней критической области, в случае б) – для односторонней критической области.

В случае а) , если |Тнабл|˂tкр, то гипотеза Но не отвергается ,если |Тнабл|˃tкр – отвергается

В случае б),если Тнабл˂tкр, то гипотеза Но не отвергается,если Тнабл˃tкр - отвергается

51.Статистическая проверка гипотез: сравнение математических ожиданий двух генеральных совокупностей при неизвестных σ²х = σ² у. Пусть m и n-объемы независимых выборок ,по которым найдены соответствующие выборочные средние и . Проверим гипотезу Н₀: М(Х)=М(У). Конкурирующая гипотеза Н₁ может быть видов: а) М(Х)≠М(У); б)М(Х)>М(У); в) М(Х)<М(У). Однако случай в) сводится к случаю б) путем перестановки х и у и не будет рассматриваться отдельно. Во всех случаях вычисляется статистика критерия Т_набл= . В случае а) критическая точка t_кр выбирается из условия Ф(t_кр )=(1-α)/2. (по табл. Лапласа) Если |T_набл |<t_кр , то гипотеза Н₀ не отвергается, если |Т_набл |> t_кр -не отвергается. В случае б) критическая точка t_кр выбирается из условия Ф(t_кр )=0,5-α. Если Тнабл< t_кр , то гипотеза Н₀ не отвергается, если Тнабл> t_кр , -отвергается.

52. Статистическая проверка гипотез: исключение грубых ошибок наблюдения. Грубые ошибки наблюдений могут возникнуть из-за ошибок регистрации наблюдений, ошибок показателей измерит. приборов и т.д. Путь х^*,х₁,х₂…х_n –результаты наблюдений, причем х^* резко выделяется среди остальных. Необходимо решить вопрос о принадлежности резко выделяющемся значении к остальным результатам наблюдений. По данным х₁,х₂…х_n вычисляется средняя арифметическая ẍ=1/n ∑x_i , и дисперсия (для малого объема статистических данных Ŝ²_х=1/(n-1) ∑( x_i- ẍ)². Н_0: ẍ= х^*(среднее арифметическое значение результатов наблюдений совпадают с резко выделяющимся значением. Н₁: а)ẍ <x^* б) ẍ>x^* (резко выделяющееся значение не совпадает со средним значением. Расс-ся статистика критерия Т=(Х^*-Ẍ)/ Ŝ_х (распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы. При заданной надежности ϒ определяется граница критической области, соответствующее критическому значению распределению Стьюдента с (n-1) степенями свободы. Если |T_набл| t_{n-1, α} то Н₀ не отвергается, т.е. резко выделяющееся значение Х^* принадлежит результатам наблюдений. В противном случае резко выделяющееся значение яв-ся аномальным.

53.Статистическая проверка гипотез: сравнение дисперсий 2-х генеральных совокупностей. По двум выборкам ,объемы которых соответственно равны n₁ и n₂, извлеченными из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии Ŝ²_х и Ŝ²_у соответственно. Требуется сравнить дисперсии генеральных совокупностей по вычисленным Ŝ²_х и Ŝ²_у. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н₁: а) D(X)≠D(Y); б) D(X)>D(У) ;в) D(X)<D(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия: а) отношение оценки большей дисперсии к меньшей F_набл= Ŝ²_х / Ŝ²_{у ,}( Ŝ²_х > Ŝ²_у) ; б)отношение первой выборочной дисперсии ко второй F_набл= Ŝ²_х / Ŝ²_у. Случай в) сводится к случаю б) путем перестановки х и у и не будем рассматривать отдельно. По таблице критических точек распределения Фишера для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы к₁= n₁-1 и к₂₌ n₂-1 определяем критическую точку F_кр: а) F_кр=F(к₁; к₂; α/2) (к₁ соответствует выборке с большей дисперсией); и б) F_кр=F(к₁; к₂; α). Если F_набл < F_кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.