1.2. Циркуляция векторного поля.

ФОРМУЛА СТОКСА

Решение типовых задач

1. Вычислить циркуляцию векторного поля по окружности в положительном направлении.

Решение. Пусть задано векторное поле (1.1) и замкнутая кусочно-гладкая кривая с указанным на ней направлением. Криволинейный интеграл второго рода

(1.4)

называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой .

В данном случае: т. к. при возрастании параметра от 0 до движение по окружности происходит против хода часовой стрелки относительно единичного вектора то параметрические уравнения ориентированной кривой имеют вид Тогда, согласно (1.4), получим:

Ротором гладкого векторного поля называется вектор

(1.5)

Справедлива формула Стокса

(1.6)

т.е. циркуляция векторного поля вдоль замкнутой кривой равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность границей которой является Направление обхода по и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.

2. Проверить результат задачи 1 с помощью формулы Стокса.

Решение. В качестве поверхности границей которой является кривая возьмём круг

z 3 L 0 2 y 2 x

Тогда Далее

и, согласно (1.6),

3. Вычислить циркуляцию векторного поля

по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости : с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормали этой плоскости непосредственно и с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости с координатными плоскостями получим и укажем на нем положительное направление обхода контура в соответствии с условием задачи.

z 2 C B 0 1 y 2 A x

1) Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле (1.4)

На отрезке АВ имеем:

На отрезке ВС верны соотношения:

На отрезке СА имеем:

Следовательно,

2) Воспользуемся формулой Стокса (1.6). Единичный вектор нормали к плоскости S: Вычислим ротор данного векторного поля по формуле (1.5): ,

тогда

По формуле Стокса

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить ротор векторного поля в точке :

а)

б)

2. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии в положительном направлении обхода относительно нормали непосредственно и с помощью формулы Стокса:

а)		:
б)		:
в)		:
г)		:

3. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости S с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормали этой плоскости непосредственно и с помощью формулы Стокса:

а)		:
б)		:

4. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии L в направлении, соответствующем возрастанию параметра t:

а)		:
б)		:
в)		:

Ответы

1. а) б)

2. а) б) в) г)

3. а) -6; б) 0.

4. а) б) в)