Задачи для самостоятельного решения

1. Найти решение задачи Коши:

а)
б)
в)
г)

2. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент времени , если в начальный момент заданы условия:

Ответы

1.	а)	б)	в)
	г)		д)

2.2. Смешанная задача для одномерного

ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. МЕТОД ФУРЬЕ

Решение типовых задач

1. Струна, закрепленная на концах , имеет в начальный момент времени форму параболы: . Найти форму струны в любой момент времени, если начальные скорости отсутствуют.

Решение. Свободные колебания струны, закрепленной на концах, моделируются смешанной задачей с краевыми условиями первого типа

Решение данной краевой задачи определяется формулой

(см. [1], 2.4)

с коэффициентами

Для нашего случая при имеем:

Применяя дважды метод интегрирования по частям, получим:

Тогда решение задачи примет следующий вид

2. Изучить свободные продольные колебания однородного

стержня длиной , у которого оба конца свободны, при произвольных начальных данных. Решить задачу в предположении, что длина струны , а начальные условия имеют вид:

Решение. Задача приводится к решению уравнения

(2.1)

при условиях

(2.2)

(2.3)

Смешанная задача с краевыми условиями второго типа аналогично решается методом Фурье.

а) Будем искать ненулевое частное решение уравнения (2.1), удовлетворяющее краевым условиям (2.3), в виде произведения

(2.4)

Подставляя выражение (2.4) в (2.1), получим или, после деления на ,

Ненулевая функция (2.4) будет удовлетворять уравнению (2.1) и условиям (2.3), если функция – ненулевое решение краевой задачи

(2.5)

функция – ненулевое решение уравнения

(2.6)

Все решения уравнения (2.5) даются формулой

Удовлетворяя граничным условиям, получим:

,

(учтено , в противном случае ).

Таким образом, при

имеем бесконечный набор ненулевых решений задачи (2.5)

(2.7)

Из уравнения (2.6) при соответственно найдем

(2.8)

(2.9)

где – произвольные постоянные. Подставляя (2.7), (2.8) и (2.9) в (2.4), получаем искомый набор функций, удовлетворяющих (2.1) и (2.3):

где

б) Будем искать решение краевой задачи (2.1) – (2.3) в виде суммы решений:

(2.10)

Выберем постоянные так, чтобы удовлетворяла начальным условиям (2.2). При имеем

(2.11)

и

(2.12)

Соотношения (2.11) и (2.12) будем рассматривать как разложение в ряд Фурье четных на функций и с коэффициентами разложений соответственно. Из теории рядов Фурье известен вид коэффициентов:

(2.13)

(2.14)

Итак, решение краевой задачи (2.1) – (2.3) представлено в виде ряда (2.10) с коэффициентами (2.13) и (2.14).

В случае, когда имеем:

При вычислении коэффициентов использован метод интегрирования по частям. Окончательно решение примет вид