Задачи для самостоятельного решения
1.
Решить задачу о колебании струны
с закрепленными концами, если
начальные скорости точек струны равны
нулю, а начальное отклонение имеет
форму:
а)
|
б) ломаной ОАВ, где О(0, 0), А(1, 1), В(2, 0). |
2.
Решить задачу о колебании струны
с закрепленными концами, если в начальном
положении струна находится в покое
,
а начальная скорость задается формулой:
а)
|
б)
|
3. В полуполосе
,
для уравнения
решить смешанные задачи со следующими
условиями:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
Ответы
1. |
а)
|
|
б)
|
2. |
а)
|
|
б)
|
3. |
а)
|
|
б)
|
|
|
|
|
|
в)
|
|
г)
|
|
|
|
|
– положительные
корни уравнения
2.3. Смешанная задача для неоднородного
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Изложенный выше метод Фурье позволяет также решать краевые задачи для неоднородного волнового уравнения.
Сформулируем, например, задачу о вынужденных колебаниях струны, закрепленной на концах:
Будем искать
решение в форме разложения в ряд Фурье
по ортогональной на
системе собственных функций
найденных в задаче о свободных колебаниях
струны с закрепленными концами и
удовлетворяющих граничным условиям
(2.17) (см. [1], 2.4).
Тогда
,
(2.18)
где коэффициенты
следует найти так, чтобы ряд (2.18)
удовлетворял уравнению (2.15) и начальным
условиям (2.16). Для этого представим
функции
в виде следующих тригонометрических
рядов Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.19) |
Подставив ряды (2.18) и (2.19) в уравнение (2.15) и начальные условия (2.16), получим следующие соотношения:
(2.20)
Уравнивая в
полученных равенствах коэффициенты
при
,
получим задачу Коши для
:
Общее решение уравнения (2.21), найденное методом Лагранжа вариации постоянных, имеет вид
Удовлетворяя начальным условиям (2.22), получим решение задачи (2.21), (2.22) в виде
(2.23)
Подставляя
в ряд (2.18), получим решение исходной
задачи (2.15) – (2.17) в виде
Решим задачу
(2.15) – (2.17) при нулевых начальных условиях,
т. е.
.
В этом случае решение имеет вид
(2.24)
Вычислим
по первой формуле соотношений (2.19).
Используя метод интегрирования по частям:
получим
Подставляя
в (2.24), получим
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой
Окончательно имеем
(2.25)
Замечание. Функция (2.25) описывает вынужденные колебания ограниченной струны, которые совершаются только под действием внешней распределенной по струне вынуждающей силы при отсутствии начальных возмущений струны.