Задачи для самостоятельного решения
1. В полуполосе
,
решить смешанные задачи для уравнения
с начальными условиями
и следующими краевыми условиями:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
Решить смешанную задачу:
Ответы
1. |
а)
|
|
б)
|
|
в)
|
|
г)
|
2. |
|
2.4. Смешанная задача для двумерного
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Решение типовых задач
1. Рассмотрим
мембрану прямоугольной формы со сторонами
и
,
жестко закрепленную по периметру. Опишем
процесс малых поперечных колебаний
такой мембраны, инициированный начальным
отклонением и начальной скоростью.
Решение. Математическая модель процесса свободных колебаний такой мембраны имеет вид краевой задачи
Решение задачи (2.26) – (2.28) будем искать методом Фурье.
а) Найдем частные решения, удовлетворяющие граничным условиям (2.28), в виде
(2.29)
Подставляя (2.29) в уравнение (2.26), получим
Отсюда следуют уравнение для функции
(2.30)
и задача на собственные значения
(2.31)
Полагая
и проведя еще раз разделение переменных,
получим две идентичные задачи Штурма
– Лиувилля
и
(2.32)
где
– собственные значения, связанные с
соотношением
Для задач (2.32) наборы собственных значений и соответствующих им собственных функций имеют вид
Тогда задача на собственные значения (2.31) имеет в качестве собственных чисел
каждому из которых соответствует собственная функция
Теперь с учетом (2.30) находим частные решения уравнения (2.26), удовлетворяющие граничным условиям (2.28):
где
б) Будем искать решение краевой задачи (2.26) – (2.28) в виде двойного ряда
(2.33)
Коэффициенты
и
найдем, выполняя начальные условия
(2.27):
Эти равенства
следует рассматривать как разложения
функций
и
в двойные тригонометрические ряды
Фурье. Поэтому для коэффициентов
и
получаем
(2.34)
(2.35)
Итак, решение краевой задачи (2.26) – (2.28) представлено в виде ряда (2.33) с коэффициентами (2.34) и (2.35).
Решим задачу (2.26) – (2.28) для случая, когда
Найдем коэффициенты и :
Интегралы вычислим, применяя дважды метод интегрирования по частям:
Аналогично,
Следовательно,
Итак, решение задачи имеет вид
2. Изучить свободные
радиальные колебания круглой мембраны
радиуса R,
закрепленной на границе при начальном
смещении
и начальной скорости
Решение. Задача приводится к решению уравнения
при условиях
Решение задачи о колебаниях круглой мембраны с закрепленным краем имеет вид (см. [1], 2.8)
где
–
положительные корни уравнения
,
– функция Бесселя нулевого порядка.
Коэффициенты определяются по формулам
При нахождении коэффициентов разложения будем использовать следующие формулы:
Для нашего случая
при
имеем:
Выполним замену:
Получаем
,
(учтено, что
).
Окончательно решение примет вид
