1.4. Рекомендации к решению задач

При решении задач очень часто обнаруживаются такие направления движения, в которых внешние силы не действуют. Чаще всего в отсутствии сил сопротивления таким направлением является горизонтальное направление, проекция сил тяжести на которое всегда равна 0 Связав с таким направлением одну из осей системы координат, например, ось Х, можно получить максимально упрощенное выражение закона сохранения импульса ( Р_2х - Р_1х) = 0.

Особого внимания требуют случаи, когда имеется несколько материальных точек или частиц. Чтобы найти импульс такой системы, необходимо произвести векторное сложение импульсов частиц, составляющих систему. Если же нужно найти импульс тела, различные точки которого обладают различными скоростями, необходимо разбить это тело мысленно на маленькие части ( в пределе – бесконечно маленькие), а затем, опять-таки векторно, произвести сложение импульсов (смотрите разбор задач 10, 11).

Необходимо учитывать, что закон сохранения импульса выполняется в любых инерциальных системах, но импульс тела зависит от системы координат. В предыдущем номере журнала мы подробно рассматривали условия выбора координатной системы, поэтому предполагается, что при решении задач, содержащих векторные величины, системы отсчета и система координат будут выбираться из соображений упрощения решения (смотрите разбор задачи 12).

Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо обязательно определить, для переходов из каких в какие состояния можно применить закон сохранения импульса. Каждое такое состояние обязательно изобразить на рисунке с указанием направления импульсов. Не указав направления осей выбранной координатной системы, начинать решение задачи нельзя. В некоторых задачах оказывается удобным использование векторного равенства, в некоторых – в виде проекций моментов на координатные оси.

Если же вы только-только приступили к изучению этого закона и решению пока еще простейших задач, рекомендуется сделать следующую схему для направления, вдоль которого не действуют внешние силы (не забудьте указать направление выбранной оси; от этого будет зависеть знак скорости данного тела или части системы):

Импульсы тел до взаимодействия (с обязательным учетом знака скорости относительно выбранной оси)	Импульсы тел после взаимодействия (с обязательным учетом знака скорости относительно выбранной оси)
M1 V1 M2 V2 M3 V3 И так далее (перечислить все части системы с их скоростями до взаимодействия)	M1 U1 M2 U2 M3 U3 И так далее (перечислить все части системы с их скоростями после взаимодействия)

(M₁ V₁ + M₂ V₂ + M₃ V₃ + …) ₌ (M₁ U₁ + M₂ U₂ + M₃ U₃ + …)

2. Примеры решения задач

Напоминаем, что при разборе задач жирным шрифтом обозначаются векторные величины.

Задача 1 . Мяч массой 50 г ударяется о стенку перпендикулярно к ней со скоростью 20 м/с и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Определить силу удара, если длительность его 0,1 с.

Р ешение. Сила удара мяча о стенку равна силе удара стенки о мяч. Так как скорости мяча до удара и после удара направлены по одной прямой, выберем ось Х, положительное направление которой совпадает со скоростью мяча после удара (рис.1).

Т огда по второму закону Ньютона

F = Р / t = m(V₂ –V₁) / t.

В проекциях на координатную ось Х это выражение имеет вид

F = m ((V₂ –(-V₁)) / t = m (V₂ +V₁) / t = 2mV / t. F = 2 0,05 20 /0,1 = 20 Н.

Ответ: сила удара мяча о стенку составляет 20 Н.

З адача 2. Мяч массой 50 г, летящий со скоростью 20 м/с по направлению к стенке под углом 30⁰ к ее поверхности, ударяется о стенку и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Определить силу удара мяча о стенку, если длительность его 0,1 с.

Р ешение. Задача подобна задаче 1 с той разницей, что мячик ударяется о стенку под углом. Поэтому, чтобы найти силу удара, используя второй закон Ньютона,

F = Р/t = m(V₂–V₁)/t, нужно выполнить векторное вычитание (V₂ –V₁) = V (рис.2). (По построению видно, что модуль изменения скорости V = 2V₁ Sin . Тогда F = 2 mV₁ Sin  /t, F = 2 0,05 20 0,5 / 0,1 = 10 Н.

Ответ: сила удара мяча о стенку равна 10 Н.

Задача 3. Пластилиновый шарик массой 50 г, летящий со скоростью 20 м/с перпендикулярно к стенке, ударяется о стенку и прилипает к ней. Определить силу удара, если длительность его 0,1 с.

Р ешение. Скорость шарика после удара равна 0. Поэтому по второму закону Ньютона F = Р / t = m(V₂ –V₁) / t или в скалярном виде

F = m(V₂ –V₁) / t = - mV /  t. F = - 0,05 20 /0,1 = -10 Н.

Знак “минус” означает, что при неупругом ударе сила удара со стороны стенки направлена противоположно первоначальному направлению движения шарика.

Ответ: сила неупругого удара шарика о стену равна 10 Н.

Примечание. Сравните результаты решения задач 1, 2 и 3 и ответьте на вопрос: в каком случае удар мяча о стенку будет максимальным.

В разобранных выше задачах при выполнении вычислительных операций мы опустили операции с размерностями, сразу же поставив в результате единицу измерения в СИ силы – Н (ньютон). Но точность решения в большой степени зависит от того, правильно ли получена рабочая (окончательная) формула. И одним из способов проверки является операция с размерностями. Поэтому предлагаем решение задачи, являющейся частью физических задач, в которой рассматривается только операция с размерностями.

Задача 4. Определите единицу измерения в СИ выражения , где

F – сила, S – путь, m – масса, V – скорость.

Решение

Подставим в данное выражение единицы измерения величин в СИ:

[F] = H = (кгм)/с²; [S] = м; [m] = кг; [V] = м/с. Получим выражение, упростив которое, ответим на заданный вопрос.

Ответ: единица измерения данного выражения – м / с (единица измерения скорости механического движения).

З адача 5. Какое усилие должен развить велосипедист, чтобы за 10 с движения изменить скорость с 18 км/ч до 54 км/ч при коэффициенте полезного действия педальной системы 60 %? Масса велосипеда вместе с велосипедистом 72 кг.

Решение. Для увеличения скорости с V₁ до V₂ необходимо действие силы, которую будем считать постоянной, равной F = Р / t = m(V₂ – V₁) / t. Так как направление движения не менялось, то F = m(V₂ – V₁) / t.

Часть приложенного усилия тратится на преодоление силы трения в педальной системе. Поэтому приложенное (затраченное) усилие должно быть больше F, то есть F₃ = F /  = m(V₂ – V₁) / (t);

F₃ = 72 (15-5)/ (0,6 10) = 120 Н.

Ответ: велосипедист должен развить усилие 120 Н.

Задача 6. Вагон массой 2,4 т, движущийся со скоростью 36 км/ч, догоняет другой вагон массой 4 т, движущийся со скоростью 4 м/с, и сцепляется с ним. С какой скоростью стали двигаться вагоны после сцепления?

Р ешение. Пусть V₁ – скорость движения первого вагона, V₂ – скорость движения второго вагона, а V – скорость движения вагонов после сцепления. В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, поэтому можем считать ее изолированной. За положительное направление примем направление движения вагонов (рис.3).

Т огда по закону сохранения импульса суммарный импульс вагонов до сцепления равен суммарному импульсу вагонов после сцепления. В векторной форме этот закон имеет следующий вид:

(m ₁V₁ + m₂ V₂ )= (m₁ + m₂)V. А так как все векторы скорости направлены вдоль выбранной оси, то скалярный вид уравнения

m ₁V ₁+ m₂ V₂ = (m₁ + m₂) V. Здесь предполагается, что после сцепления вагоны продолжили движение в первоначальном направлении.

Отсюда V = (m ₁V ₁+ m₂ V₂ )/ (m₁ + m₂); V = 6,25 м/с.

Значение скорости получилось в результате вычислений положительным, что означает, что наше предположение о направлении движения сцепленных вагонов верно: сцепленные вагоны продолжили движение в прежнем направлении.

Ответ: после сцепления вагоны стали двигаться со скоростью 6,25 м/с в том же направлении.

З адача 7. Снаряд массой 200 кг, имеющий в верхней точке параболической траектории скорость 300 м/с, разрывается на два осколка, больший из которых массой 120 кг полетел в прежнем направлении со скоростью 600 м/с. Определить скорость меньшего осколка.

Решение. В верхней точке параболической траектории скорость снаряда направлена горизонтально.

Отсутствие внешних горизонтальных сил, действующих на снаряд, позволяет считать систему изолированной и применить закон сохранения импульса.

Примем направление движения снаряда до разрыва за положительное. Тогда импульс снаряда до разрыва равен mV.

После разрыва импульс большего осколка стал равным m₁V₁, а меньшего осколка m₂V₂. Запишем закон сохранения импульса в векторном виде mV=m₁V₁+m₂V₂, или с учетом того, что все векторы скорости направлены вдоль одной горизонтальной оси, в скалярном виде mV= m₁V₁+m₂V₂. Здесь предполагается, что направление скорости V₂ такое же, как и направление скорости V₁. Тогда получаем V₂ = (m V – m₁V₁ )/ m₂.

Подставив данные величины, получаем V₂= -150 м/с.

Знак «минус» указывает на то, что наше предположение о направлении скорости V₂ было ошибочным, скорость движения второго осколка противоположна направлению V₁.

Ответ: меньший осколок полетел со скоростью 150 м/с в направлении, противоположном направлению выбранной положительной оси.

Задача 8. Две лодки движутся по инерции параллельными курсами. Когда лодки поравнялись, с одной из них на другую осторожно опустили груз массой 30 кг. После этого лодка массой 300 кг, в которую переложили груз, остановилась, а скорость другой лодки V₁ = 1,5 м/с не изменилась. С какой скоростью двигалась вторая лодка до того, как в нее переложили груз?