Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1. Рассмотрим систему «лодка-человек». Поскольку в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, импульс ее вдоль горизонтальной оси Х сохраняется.. В начальный момент (человек и лодка покоятся) импульс системы равен 0. Значит, он будет равен 0 в любой последующий момент времени. Пусть скорость человека относительно Земли постоянна и равна V, а скорость лодки равна V₁. Тогда в проекциях на ось Х 0 = mV – МV₁. Пусть время движения человека вдоль лодки равно t. Тогда человек пройдет путь (V t), а лодка - путь (V₁ t). В начальный момент человек и другой конец лодки находились на расстоянии L друг от друга, а затем начали двигаться навстречу друг другу со скоростями V и V₁. Следовательно, L = V t + V₁ t.

Решив совместно уравнения L = (V t + V₁ t) и 0 = (mV – МV₁ ), получим значение пути, пройденного лодкой (V₁ t) = Х = m L / (М + m).

2, Используя принцип относительности движения V = V₁ +V₂, или V₂ = V₁ +V, где

V₂ – скорость человека относительно лодки, V₁ - скорость лодки, V - скорость человека относительно берега, получаем, что время перемещения человека вдоль лодки t = L / V₂. За это время лодка проходит путь (V₁t) = (V₁L) / V₂ или, с использованием закона сохранения импульса, (V₁ t) = m L / (М + m).

Задача 15. По гладкой горизонтальной поверхности движется тележка массой М со скоростью V. В нее стреляют из ружья пулей массой m со скоростью U, которая, попав в тележку, застревает в ней. Какой станет скорость тележки после попадания в нее пули в случае: а) когда скорость пули направлена горизонтально, так же, как скорость тележки, б) когда скорость пули направлена вертикально вниз?

Решение. Воспользуемся законом сохранения импульса в проекции на направление первоначального движения тележки.

а) mU +MV = (m + M)V_л ; откуда получаем V_л= (mU +MV) / (m + M). То есть после попадания пули скорость тележки увеличилась.

б) MV = (m + M)V_л, откуда V_л= MV / (m + M). То есть после попадания пули скорость тележки уменьшилась

Векторный характер закона сохранения импульса в ряде случаев приводит к совершенно неожиданным результатам.

Задача 16. Две одинаковые лодки, в которых находятся два одинаковых спортсмена, движутся по инерции (почти без трения) с одинаковыми скоростями параллельно друг другу по поверхности озера. Начинает идти дождь. Спортсмен, сидящий в первой лодке, вычерпывает воду из лодки и выливает ее в сторону, а спортсмен во второй лодке спит. Какая из лодок быстрее пройдет одно и то же расстояние? В направлении, перпендикулярном килю, лодки двигаться не могут.

Решение. При попадании в лодку воды массой m, начальная скорость которой направлена вертикально (дождь!), скорость лодки уменьшается и становится равной по модулю V_л= MV / (m + M), где М – масса лодки, а V – модуль ее начальной скорости. Отсюда видно, что изменение скорости лодки, равное  V = V –V_л = V/(1+M/m), тем меньше, чем больше отношение M/m. Поскольку масса дождя, попавшего в лодки, одна и та же, уменьшение скорости будет большим у той лодки, из которой спортсмен вычерпывает воду. Заметим также, что при выбросе воды в сторону скорость лодки не меняется, так как киль не дает ей двигаться в перпендикулярном направлении.

Задача 17. Из ракеты массой М выбрасываются продукты сгорания топлива в виде газа порциями одной и той же массы m со скоростью u относительно ракеты. Пренебрегая действием силы тяжести, определить скорость ракеты, которой она достигнет после выброса n-ой порции газа.

Решение. Пусть после выброса первой порции газа ракета приобретает скорость V₁. Тогда по закону сохранения импульса (М – m) V₁ + m (u + V₁) = 0, где (u + V₁) – скорость первой порции газа относительно Земли в момент разделения системы “ракета – газ”, когда ракета уже приобрела скорость V₁. Отсюда V₁ = - m u /M. Найдем скорость ракеты V₂ после выброса второй порции. В системе отсчета, движущейся со скоростью V₁, ракета перед вылетом второй порции неподвижна, а после выброса приобретает скорость (по аналогии с первым расчетом) V = – mu /(M–m). Тогда относительно Земли скорость ракеты будет равна

V₂ = V + V₁ = V₁ + m u / (M – m) = - m u (1/М + 1/(М + m)).

Продолжая этот процесс, получаем

V_n = - m u (1/М + 1/(М - m) + 1/ (M –2m) + 1/(M – 3m) ….+1/ (M – (n-1)m)).

Так после выброса трех порций газа скорость ракеты станет равной.

V₃ = - m u (1/М + 1/(М - m) + 1/ (M –2m)). После выброса 5 порций газа

V₅ = - m u (1/М + 1/(М - m) + 1/ (M –2m) + 1/(M – 3m).+1/ (M – 4m)). Расчет можно сделать на любое количество выбросов.

Задача 18. На концах однородной платформы длиной L находятся два человека, массы которых равны m₁ и m₂.Первый прошел до середины платформы. На какое расстояние Х нужно переместиться по платформе второму человеку, чтобы тележка вернулась на прежнее место? Найти условие, при котором задача имеет решение.