3. Интерференция вторичных волн, исходящих от зон Френеля
Рассмотрим, к какому результату приводит наложение всех вторичных волн в точке В. Для этого просуммируем амплитуды колебания А этих волн от каждой зоны. Четные зоны удалены от В на расстояние большее F на величину 2k·λ/2 = kλ (k = 0, 1, 2, 3), поэтому амплитуда волн от четных зон совпадает со знаком А0. Для нечетных зон разность хода равна (2k + 1)·λ/2, а значит, вторичные волны от нечетных зон приходят в противофазе. Соответственно амплитуды волн от нечетных зон надо брать с обратным знаком
А = А0 – А1 + А2 – А3 + А4
Запишем амплитуды волн от нечетных зон, учитывая приближение Френеля:
В результате получаем А = А0/2.
Таким образом, вторичные световые волны, исходящие от большой поверхности, имеют такую же амплитуду, как если бы свет исходил только от половины центральной зоны. Свет как бы сосредоточен в канале, сечение которого равно половине центральной Френеля.
При
F
1 м и λ
10-6
м размеры такого канала окажутся порядка
= 10-3
м = 1 мм. Поэтому будет казаться, что
точечный источник света имеет размеры
1 мм.
4. Пятно Пуассона
Закроем середину прозрачной пластины круглым экраном. Если бы лучи света распространялись строго прямолинейно, то за экраном образовалась бы тень и свет в точку В не попадал бы. Однако, рассмотрение Френеля приводит к иному результату.
Представим, что непрозрачная пластина закрывает k зон Френеля и вторичные волны приходят только от (k + 1) и последующих зон. Тогда результирующая амплитуда света в точке В за экраном равна
А = Аk+1 – Аk+2 + Аk+3 – Аk+4 +
Рис. 29. Образование светлого пятна (пятна Пуассона)
в центре круглой тени на экране
Используя приближение Френеля, можно записать
Следовательно, на экране за непрозрачной круглой пластиной окажется светлое пятно (пятно Пуассона), как если бы половина первой открытой зоны освещала экран (рис. 29).
5. Зонная пластинка Френеля
И радиусы, и зоны Френеля отнюдь не являются только каким-то абстрактным понятием. Напротив, зоны можно довольно легко нарисовать на пластинке или бумаге. Например, для красного света с λ = 500 нм = 5·10-7 м при расстоянии F = 2 м радиус центральной зоны окажется около 1 мм.
Если нарисовать несколько зон, а затем закрасить темной краской нечетные зоны, то получится зонная пластина Френеля (рис. 30).
Рис. 30. Зонные пластинки Френеля с открытыми нечетными зонами (а)
и открытыми четными зонами (б)
Такая пластинка пропускает свет, проходящий только через четные зоны, поэтому амплитуда А прошедшей световой волны будет равна
А = А0 + А2 + А4 + …
Поскольку А > А0, то амплитуда волны, прошедшей через зонную, частично закрашенную пластинку, оказывается гораздо большей, чем амплитуда света А = А0/2, прошедшего через полностью прозрачную, незакрашенную пластину. Интенсивность света I A2 увеличится более, чем в четыре раза и, следовательно, такая зонная пластинка, нарисованная на прозрачном стекле, действует как собирающая линза, увеличивая интенсивность света в центре экрана. Конечно, для каждого расстояния F до экрана надо делать свою пластинку, поскольку радиусы зон связаны соотношением (6). Собирающее действие такой зонной пластинки обусловлено не преломлением лучей, как в собирающей линзе, а исключительно интерференцией вторичных волн. Зонная пластинка является простейшей голограммой, а представления Френеля об интерференции вторичных волн легли в основу совершенно нового раздела оптики – голографии.
Если Вы делали лабораторную работу «Кольца Ньютона», то помните, что картина колец представляет собой систему светлых и темных окружностей. Вид этих окружностей в точности совпадает с картиной зон Френеля. Сравните сами формулы для радиусов зон Френеля и радиусов колец Ньютона.