3. Содержание отчета к заданию.

В отчете необходимо предъявить:

• решение задания;

• алгоритм решения задания в среде табличного процессора Excel;

• файл, содержащий реализацию использованных методов в среде табличного процессора Excel;

• анализ результатов и выводы.

Пример выполнения задания. Условие.

Решить уравнение

используя численные методы: метод дихотомии, метод Ньютона. Решения получить с точностью . Вычисления организовать в среде табличного про­цессора Excel. Сравнить количество итераций, которые необходимо провести для по­лучения решения с заданной точностью, сделать вывод.

Решение.

1. Для приближенного отделения корней заданного уравнения построим график функции:

Построение проведем в среде табличного процессора Excel (файл “Задание1.xls”, лист1).

На рисунке приведен график этой функции.

Из рисунка видно, что функция пересекает ось OX между значением 0.8 и 1. Таким образом, корень уравнения f(x)=0 принадлежит отрезку [0.8; 1].

Из расчетов получим:

f(0.8)<0; f(1)>0.

2. Уточнение значения корня методом деления отрезка пополам.

Полученные при приближенном отделении границы отрезка могут быть использо­ваны для уточнения решения методом деления отрезка пополам – a=0.8, b=1.

Метод деления отрезка пополам (или метод дихотомии) применяется для уточне­ния корня уравнения f (x)=0 с наперед заданной точностью.

За начальное приближение выбираем середину отрезка [a; b]

. (2)

Проводим исследование значения функции на концах отрезков [a; ] и [ ; b]. Искомый корень находится в том отрезке, на концах которого функция приобретает зна­чение противоположных знаков. За новое приближение выбираем середину нового от­резка

Итерационный процесс продолжается пока не будет достигнуто выполнение усло­вий:

Расчет проведем в среде табличного процессора Excel (“Задание1.xls”, лист2).

Формулы, которые заносятся в соответствующие ячейки, приведены в таблице:

	A	B	C	D	E	F
1	№	a	b	X=(a+b)/2	F(x)	
2		0.8	1	=(B2+C2)/2	=3*D2-3*COS(D2)-1	=C2^3-3*C2^2+2.5
3	…	…	…	…	…	…

и т.д.

В случае, когда F(x) < 0, соответствующее значение x заносится в столбец B, иначе – в столбец C. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута за­данная точность нахождения корня уравнения (значения находятся в столбце F).

В результате проведения вычислений, получим следующие значения:

№	a	b	X=(a+b)/2	F(x)	
	0.8	1	0.9	-0.16483	0.2
1	0.9	1	0.95	0.104951	0.1
2	0.9	0.95	0.925	-0.0305	0.05
3	0.925	0.95	0.9375	0.037085	0.025
4	0.925	0.9375	0.93125	0.003256	0.0125
5	0.925	0.93125	0.928125	-0.01363	0.00625
6	0.928125	0.93125	0.929688	-0.00519	0.003125
7	0.9296875	0.93125	0.930469	-0.00097	0.001563
8	0.9304688	0.93125	0.930859	0.001144	0.000781
9	0.9304688	0.930859	0.930664	8.76E-05	0.000391
10	0.9304688	0.930664	0.930566	-0.00044	0.000195
11	0.9305664	0.930664	0.930615	-0.00018	9.77E-05
12	0.9306152	0.930664	0.93064	-4.4E-05	4.88E-05
13	0.9306396	0.930664	0.930652	2.16E-05	2.44E-05
14	0.9306396	0.930652	0.930646	-1.1E-05	1.22E-05
15	0.9306458	0.930652	0.930649	5.12E-06	6.1E-06
16	0.9306458	0.930649	0.930647	-3.1E-06	3.05E-06
17	0.9306473	0.930649	0.930648	9.99E-07	1.53E-06
18	0.9306473	0.930648	0.930648	-1.1E-06	7.63E-07
19	0.9306477	0.930648	0.930648	-3.2E-08	3.81E-07

Отсюда:

значение корня с точностью x= 0.9305 n=9 итераций;

значение корня с точностью x= 0.9306477-- n=19 итерации.

2. Метод Ньютона.

Вычислим первую и вторую производную от функции:

Условием сходимости итерационного процесса при реализации метода Ньютона является . F”(x) на отрезке, на котором находится корень уравнения больше 0. Следовательно, условие выполняется для . Тогда в качестве началь­ного приближения для метода Ньютона может быть выбрано значение x₀=1, F(1) >0.

Расчет реализуем в среде табличного процессора Excel (“Задача1.xls”, лист3).

Ниже приведены формулы и значения, заноси­мые в столбцы листа табличного процессора для реализации этого метода.

	A	B	C	D	E
1	Итерации	с	F(с)	F'(с)	
2		1	=3*B2-3*COS(B2)-1	=3+3*SIN(B2)
3	1	=B2-C2/D2	=3*B3-3*COS(B3)-1	=3+3*SIN(B3)	=ABS(B2-B3)
4	2	=B3-C3/D3	=3*B4-3*COS(B4)-1	=3+3*SIN(B4)	=ABS(B3-B4)
5	…	…	…	…	…

и т.д.

Вычисления прекращаются, когда будет достигнута заданная для нахождения корня точность (значения ).

В результате проведения вычислений, получим следующие значения:

Итерации	с	F(с)	F'(с)	
	1	0.379093	5.524413
1	0.931378576	0.003951	5.40733	0.068621424
2	0.930647944	4.78E-07	5.406021	0.000730632
3	0.930647856	6.66E-15	5.406021	8.84157E-08

значение корня с точностью x= 1.1685- n=3 итерации;

4. Выводы.