1.2 Методы решения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные, численные.

Графические методы используют геометрические построения. Например, метод изоклин для решения дифференциального уравнения первого порядка вида (2), основанный на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определенному изоклинами.

Аналитические методы излагаются в курсе дифференциальных уравнений. Они дают возможность для ряда уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородными, линейными и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (линейных с постоянными коэффициентами) получить решение в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы, используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов некоторых функций. Например, в некоторых инженерных задачах удается представить решение в виде суммы двух составляющих, первое из которых определяет основное решение, а второе – малая добавка (возмущение), квадратом которой можно пренебречь. На этом основаны различные методы линеаризации.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используют соответствующие конечно-разностные соотношения. Например, для вычисления производных в точке x₁:

,

,

, (3)

.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Рассмотрим применение метода конечных разностей для решения задачи Коши: найти функцию, удовлетворяющую уравнению

y' = f(x, y) (4)

и принимающую при x = x₀ заданное значение у₀:

y(x₀) = y₀.

Решение необходимо получить для значений x>x₀.

Согласно метода осуществим переход от дифференциальной задачи (4) относительно функции у к разностной задаче относительно сеточной функции у_i, i = 0, 1, …, предварительно введя последовательность точек x₀, x₁, … , шаги h_i = x_i+1 - x_i (i=0, 1, …) и выполнив замену производных в дифференциальном уравнении отношением конечных разностей (3). Полученное в результате этого разностное уравнение в общем виде имеет вид

у_i+1 = F(x_i, h_i, y_i+1, y_i, …… y_i–k+1), i =1, 2, … (5)

Конкретное выражение правой части уравнения (5) зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (5).

На основании анализа вида разностного уравнения (5) можно провести некоторую классификацию численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если в правой части (5) отсутствует у_i+1, т.е. значение у_i+1 явно вычисляется по k предыдущим значениям у_i, у_i–1, … ,у_i–k+1, то разностная схема называется явной. При этом получается k-шаговый метод: k = 1 – одношаговый, k = 2 – двухшаговый и т.д.