1.3. Формула трапеций.
Если f(x) непрерывная
постоянная функция на отрезке [a; b], то
можно геометрически толковать так: за
приближенное значение интеграла берется
площадь трапеции.
Чтобы вычислить
приближенное значение интеграла
,
где f непрерывная вместе с производными
первого и второго порядков на [a; b], с
достаточной точностью, отрезок [a; b]
делят на n равных отрезков длиной
и
к каждому из отрезков [xk,
xk+1],
(k=0,1,…,n-1) применяют формулу трапеций.
При этом получают квадратурную формулу:
, (6)
которую называют обобщенной формулой трапеций.
Остаточный член:
. (7)
Из (7) вытекает, что обобщенная формула трапеций точна для линейной функции, т.к. вторая производная от линейной функции равняется нулю.
1.4. Формула Симпсона.
Если необходимо
произвести вычисления интеграла с
достаточной точностью, то отрезок [a; b]
делят на 2n равных отрезков длиной
и к каждому из отрезков [x2k;x2k+2]
применяют формулу Симпсона
, (8)
.
Таким образом, получаем обобщенную формулу Симпсона (парабол):
. (9)
Остаточный член обобщенной формулы Симпсона:
. (10)
Отсюда получаем такую оценку абсолютной погрешности численного интегрирования по обобщенной формуле Симпсона:
. (11)
1.6 Сравнение погрешности квадратичных формул.
Точность квадратурной формулы характеризуется порядком остаточного члена степени шага интегрирования.
Итак, остаточные члены формул левых и правых прямоугольников относительно h имеют первый порядок: R(f)=O(h), средних прямоугольников и трапеций – второй: R(f)=O(h²), а Симпсона – четвертый: R(f)=O(h4). Квадратурную формулу считают тем точнее, чем больше порядок ее остаточного члена R(f). Из рассмотренных ранее квадратурных формул самой точной является формула Симпсона, а наименее точными – формулы левых и правых прямоугольников. Точность формул средних прямоугольников и трапеций одинакова.
2. Задание для выполнения контрольной работы.
Варианты заданий изложены в таблице 2.
1. Построить алгоритм вычисления приближенного значения интеграла по обобщенной формуле указанной в табл.2 и составить соответствующий алгоритм вычисления в среде табличного процессора Excel.
2. Используя этот алгоритм вычислить значение интеграла на указанном отрезке интегрирования [a;b], разделив отрезок на N0 равных частей, оценить остаточный член.
3. Сравнить вычисленное значение интеграла с тем значением, которое получают путем непосредственного интегрирования.
Таблица 2 - варианты функций численного интегрирования.
Вариант |
|
a |
B |
N0 |
Формула |
1. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
2. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
3. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
4. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
5. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
6. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
7. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
8. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
9. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
10. |
|
0 |
1 |
5 |
прямоугольников |
11. |
|
0 |
1 |
5 |
трапеций |
12. |
|
0 |
1 |
6 |
трапеций |
13. |
|
0 |
1 |
6 |
трапеций |
14. |
|
1 |
2 |
8 |
трапеций |
15. |
|
1 |
2 |
8 |
трапеций |
16. |
|
0 |
1 |
6 |
трапеций |
17. |
|
0 |
1 |
6 |
трапеций |
18. |
|
0 |
1 |
6 |
трапеций |
19. |
|
0 |
1 |
5 |
трапеций |
20. |
|
0 |
1 |
5 |
трапеций |
21. |
|
0 |
1 |
6 |
Симпсона |
22. |
|
1 |
2 |
10 |
Симпсона |
23. |
|
0 |
1 |
10 |
Симпсона |
24. |
|
2 |
3 |
8 |
Симпсона |
25. |
|
0 |
|
6 |
Симпсона |
26. |
|
1 |
7 |
6 |
Симпсона |
27. |
|
2 |
7 |
6 |
Симпсона |
28. |
|
0 |
14 |
8 |
Симпсона |
29. |
|
0 |
2 |
10 |
Симпсона |
30. |
|
0 |
1 |
6 |
Симпсона |
