1.2.1 Метод Эйлера-Коши.
Метод Эйлера-Коши – простейший одношаговый метод первого порядка для численного интегрирования дифференциальных уравнений. Он реализуется следующей рекуррентной формулой
yi+1 = yi +hf(xi,уi), i = 0,1, … (6)
где h – шаг интегрирования (приращение переменной x), h = const.
Погрешность метода пропорциональна h2.
1.2.2. Модифицированный метод Эйлера.
Модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом второго порядка, реализуется следующими формулами
уi+1 = yi + hf(xi + h/2, у*(i+1/2)),
у*(i+1/2) = уi +hf(xi, yi)/2. (7)
Метод дает погрешность, пропорциональную h3.
1.2.3. Метод Рунге-Кутта.
Метод Рунге-Кутта – одношаговый метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, на котором построены разностные схемы разного порядка точности.
Двучленная формула имеет вид
yi+I=yi+p21kI+p22k2, (8)
где kI=hf(xi,yi),
k2=hf(xi+2h; yi+21k1),
21=2,
p22=-1/(22),
p21=I+p22.
Для 2=1
,
k1 = f(xi, yi),
k2 = f(xi+1, yi + hk1), (9)
xi+1 = xi + h.
Четырехчленная формула Рунге-Кутта
уi+1 = уi +1/6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4),
k1 = hf(xi, yi),
k2 = hf(xi + h/2, yi + k1/2), (10)
k3 = hf(xi + h/2, yi + k2/2),
k4 = hf(xi + h, yi + k3).
2. Задание для выполнения контрольной работы.
Варианты заданий изложены в таблице 3.
1. Построить алгоритм решения обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на отрезке [a, b], шаг h = 0.1 и h = 0.01, для каждого метода, указанного в табл.3 и составить соответствующий алгоритм вычисления в среде табличного процессора Excel.
2. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками после запятой.
3. Сравнить результаты вычисления различных методов с различными шагами интегрирования.
Таблица 3 – варианты обыкновенных дифференциальных уравнений для решения численными методами.
№ п/п |
Уравнения |
Методы |
1 |
y(1.8)=2.6 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
2 |
y=x+cos(y/3) [1.6;2.6] y(1.6)=4.6 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
3 |
y(0.6)=0.8 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
4 |
y(0.5)=0.6 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
5 |
y=x+cos(y/) [1.7;2.7] y(1.7)=5.3 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
6 |
y=x+cos(y/2.25) [1.4;2.4] y(1.4)=4.2 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
7 |
y=x+cos(y/e) [1.4;2.4] y(1.4)=2.5 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
8 |
y(0.8)=1.4 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
9 |
y(1.2)=2.1 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
10 |
y(2.I)=2.5 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
11 |
y(1.8)=2.6 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
12 |
y=x+sin(y/3) [1.6;2.6] y(1.6)=4.6 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
13 |
y(0.6)=0.8 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
14 |
y(0.5)=0.6 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
15 |
y=x+sin(y/) [1.7;2.7] y(1.7)=5.3 |
Эйлера и Рунге-Кутта II порядка |
16 |
y(1.4)=2.2 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
17 |
y=x+sin(y/e) [1.4;2.4] y(1.4)=2.5 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
18 |
[0.8;1.8] y(0.8)=1.3 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
19 |
y(1.I)=1.5 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
20 |
[0.6;1.6] y(0.6)=1.2 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
21 |
y=x+sin(y/1.25) [0.5;1.5] y(0.5)=1.8 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
22 |
y(0.2)=1.1 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
23 |
y(0.I)=0.8 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
24 |
y(0.5)=0.6 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
25 |
y(1.2)=1.4 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
26 |
y(0.4)=0.8 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
27 |
y(0.3)=0.9 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
28 |
y(1.2)=1.8 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
29 |
[0.7;1.7] y(0.7)=2.1 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
30 |
[0.9;1.9] y(0.9)=1.7 |
Модифицированный Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка |
[1.8;2.8]
[0.6;1.6]
[0.5;1.5]
[0.8;1.8]
[1.2;2.2]
[2.1;3.1]
[1.8;2.8]
[0.6;1.6]
[0.5;1.5]
[1.4;2.4]
[1.1;2.1]
[0.2;1.2]
[0.1;1.1]
[0.5;1.5]
[1.2;2.2]
[0.4;1.4]
[0.3;1.3]
[1.2;2.2]