Объект управления и его уравнения динамики.

В лабораторной работе необходимо спроектировать 3 типа регуляторов для одного и того же объекта управления, в качестве которого выступает неустойчивый маятник, установленный на подвижной платформе (рис.3). Задачей системы автоматического управления является обеспечение заданного перемещения платформы (координата х) и удерживание стержня маятника в вертикальном положении в установившемся режиме (угол ). Обозначив физические величины и линеаризируя исходные уравнения движения платформы и маятника для малых углов , получают следующие уравнения динамики объекта управления:

Рисунок 3 - Подвижная платформа с неустойчивым маятником как объект управления

Задание на проведение лабораторной работы.

1. Для заданных значений массы платформы М(кг), массы мятника m(кг) и длины маятника L(м) при g=9.8м/с² вычислите значения элементов матрицы А (данные возьмите из таблицы 2 в соответствии с Вашим номером по журналу).

Таблица 2

№	М(кг)	m(кг)	L(м)	№	М(кг)	m(кг)	L(м)
1	0,5	0,1	0,2	11	5,5	0,5	0,8
2	1,0	0,2	0,2	12	6,0	0,5	0,8
3	1,5	0,3	0,2	13	6,5	0,5	0,8
4	2,0	0,3	0,4	14	7,0	0,6	1,2
5	2,5	0,3	0,4	15	7,5	0,6	1,2
6	3,0	0,3	0,4	16	8,0	0,7	1,2
7	3,5	0,4	0,4	17	8,5	0,8	1,5
8	4,0	0,4	0,5	18	9,0	0,9	1,5
9	4,5	0,4	0,5	19	9,5	1,0	2,0
10	5,0	0,4	0,5	20	10	1,0	2,0

2. В соответствии с приведенным алгоритмом спроектируйте регулятор и проверьте по переходной характеристике замкнутой системе качество регулирования.

3. Для тех же условий спроектируйте модальный регулятор и предварительный фильтр V для системы, показанной на рис.4.

Рисунок 4 - Система регулирования платформы с неустойчивым маятником с

модальным регулятором К и фильтром V.

Сравните переходную функцию системы с модальным регулятором и предварительным фильтром с переходной функцией, полученной в п.2. Сделайте выводы.

4. Задайте по вашему усмотрению матрицы Q и R и спроектируйте оптимальный регулятор, воспользовавшись функцией MATLAB K=lqr(A,B,Q,R).

5. Как и для модального регулятора проверьте качество переходного процесса в системе с оптимальным регулятором. Если требуется предварительный фильтр V, то спроектируйте его.

6. На основании сравнения различных вариантов построения системы и анализа качества регулирования сделайте общие выводы по работе.

Примерная структура m-файла.

% Программа проектирования различных регуляторов.

% Синтез регулятора с ООС по переменным состояния и ООС по выходной координате

% с использованием интегратора в цепи рассогласования

>> m=0.8; M=5: g=9.8: L=0.75;

>> A=[0 1 0 0; ((M+m)/M*L)*g 0 0 0; 0 0 0 1; -(m/M)*g 0 0 0]

>> B=[0; -1/(M*L); 0;1; 1/M]

>> C=[0 0 1 0]; D=[0];

>> P=[A B; -C 0]; rank(P), pause

% Если ранг матрицы P равен 5, то можно синтезировать регулятор.

% Формируем матрицы (принято обозначать А1) и В (далее обозначено как В1)

>> A1=[A zeros(4,1); -C 0];

>> B1=[B;0];

% Проверяем управляемость системы. Каков должен быть ранг матрацы М?

>> M=[B1 A1*B1 A1^2*B1 A1^3*B1 A1^4*B1];

>> rank(M)

>> poly(A1)

ans=1.0000 0.0000 -8.5260 0 0 0

>> a1=0; a2=-8.526; a3=0; a4=0; a5=0;

% Задаем собственные числа матрицы динамики замкнутой системы

>> JJ=[-2+i*sqrt(3) 0 0 0 0; 0 -2-i*sqrt(3) 0 0 0; 0 0 -5 0 0; 0 0 0 -5 0; 0 0 0 0 -5];

>> poly(JJ)

ans=1 19 142 530 1025 875

>> a1=19; a2=142; a3=530; a4=1025; a5=875;

>> W=[a4 a3 a2 a1 1; a3 a2 a1 1 0; a2 a1 1 0 0; a1 1 0 0 0; 1 0 0 0 0];

>> T=M*W;

>> K=[aa5-a5 aa4-a4 aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1]*inv(T)

K=1.0e+0.03*(-1.1618 -0.4593 -0.7964 -05174 0.6798)

>> K1=[-1161.8 -459.3 -796.4 -517.4]; K_i=-679.8

% Запишем матрицы динамики замкнутой системы

>> AA=[A-B*K1 B*K_i;-C 0]; BB=[0;0;0;0;1]; CC=[C 0]; DD=[0];

>> [y,x,t]=step(AA,BB,CC,DD);

>> plot(t,y, t,y)

% Начнем синтезировать модальный регулятор

_>> poly(A)

ans=1.0000 0.0000 -8.5260 0 0

>> a1=0; a2=-8.526; a3=0; a4=0;

>> W=[a3 a2 a1 1; a2 a1 1 0; a1 1 0 0; 1 0 0 0;];

>> M1=[B A*B A^2*B A^3*B]; rank(M1)

ans=4

% Значит система полностью управляема, можно синтезировать модальный регулятор

>> Т=M1*W1;

% Выбираем собственные числа матрицы динамики замкнутой системы

>> JJ1=[-2+i*sqrt(3) 0 0 0;0 -2-i*sqrt(3) 0 0;0 0 -5 0; 0 0 0 -5];

>> poly(JJ1)

ans=1 14 72 170 175

>> аa1=14; аa2=72; аa3=170; aа4=175;

>> Kr=[aa1-a1 aa2-a2 aa3-a3 aa4-a4]*inv(T1)

>> Kr=-645.6581 -703.1741 -10.8774 -62.5655

% Уравнения замкнутой системы будут несколькими другими

>> AZ=A-B*Kr;

>> [y1,x1,t]=step(AZ,B,C,D);

>> plot(t,y1,t,x1)

>> plot(t,y1)

% Здесь явно видна необходимость простановки предварительного фильтра

>> V=-inv(C*(inv(A-B*Kr)*B));

>> BV=B*V

>> [y1,x1,t]=step(AZ,BV,C,D);

>> plot(t,y1);

% Сделайте выводы по полученным кривым, сравните их с предыдущим решением.

>> plot(t,y1,t,x1);

% Теперь синтезируем оптимальный LQ-регулятор

>> Q=[2 0 0 0;0 2 0 0;0 0 2 0;0 0 0 2];

>> R=1;

>> K_opt=lqr(A,B,Q,R);

K_opt=-81.0202 -28.7109 -1.4142 -5.5446

% Замкнем систему…

>> Ag=A-B*K_opt;

% Сразу же дополним ее предварительным фильтром

>> V1=-inv(C*(inv(A-B*K_opt)*B));

>> BV1=B*V1;

>> [y1,x1,t]=step(Ag,BV1,C,D); plot(t,y1);plot(t,y1,t,x1)