Справка из математического анализа

1. Пусть функция f(x) дифференцируема на некотором интервале (a,b). Пусть аргумент x и приращение аргумента x таковы, что точки x и x+x принадлежат интервалу (a,b). Тогда

.

2. Пусть функция f(x,y) дифференцируема в некоторой открытой выпуклой области D. Пусть значения аргументов x, y и приращение x аргумента x таковы, что (x,y)D и (x+x,y)D. Тогда

3. Если теперь к функции двух переменных применить те же рассуждения, то можно утверждать, что

и поэтому

Теперь вычислим ту же самую величину другим способом: за время tтемпература в выбранном объеме измениласьна величину для этого потребовалось теплоты , где с – удельная теплоемкость, m – масса, причем , поэтому

Приравнивая два выражения для , имеем

Сократим правую и левую части на , получим

.

Разделив обе части уравнения на c и обозначив , имеем

. (2.4)

Это — уравнение линейной теплопроводности для тонкого стержня, где — коэффициент температуропроводности ([a] = [см²/сек] или [м²/сек]).

Таким же уравнением описывается теплопроводность в пластине, толщина которой много меньше всех других линейных размеров, а температура меняется вдоль толщины (такая пластина называется бесконечной).

§3. Уравнение теплопроводности с внутренними источниками (стоками) теплоты

Рассмотрим тонкий стержень, выделим в нем элементарный объем V = Sx. Если в твердом теле имеются источники (химическая реакция) или стоки теплоты, то в уравнении теплопроводности появляется специальное слагаемое. Наличие источников или стоков внутри тела описывается функцией F(x,t) ‑ мощностью источника ([F(x,t)] = [кал/(см³⋅∙сек)] или [Вт/м³]), она означает, что в элементарном объеме DV= за время Dt выделилось количество теплоты Теперь уравнение теплового баланса (2.4), записанное выше, примет вид

Преобразуем его и получим

;

причем F(x,t) > 0 для источника, F(x,t) < 0 для стока. Чаще всего мощность источника постоянная. Если F(x,t) = W₀ = const, тогда получим уравнение теплопроводности с постоянным источником W₀ ([W₀] = [кал/(см³ ⋅ сек)])

.

§4. Уравнение диффузии

Физической моделью, где реализуется одномерное уравнение, является, например, диффузия в трубке, или в длинном узком канале, или в бесконечной пластине, то есть такой пластине толщина которой значительно меньше всех других линейных размеров, а концентрация меняется вдоль толщины.

Вывод уравнения диффузии полностью повторяет вывод уравнения теплопроводности с заменой закона Фурье на закон Нернста и баланса тепла на баланс массы в произвольно взятом объеме. Проделав те же рассуждения, что и при выводе уравнение линейной теплопроводности для тонкого стержня, придем к уравнению диффузии

,

где D — коэффициент диффузии, а слагаемое f(x,t) обусловлено источниками (или стоками) диффундирующего вещества.

Итак, оба процесса — теплопроводность и диффузию, описываются одним и тем же дифференциальным уравнением.

§5. Начальные и граничные условия. Постановка основных краевых задач

Уравнение теплопроводности (диффузии) является дифференциальным уравнением в частных производных относительно функции двух переменных T(x,t). Пространственную переменную x будем считать изменяющейся на ограниченном отрезке [0,l], а время — . Уравнение теплопроводности имеет первый порядок по времени и второй порядок по пространственной координате x. (Такие уравнения называются уравнениями параболического типа). Так же как и обыкновенное дифференциальное уравнение, где искомая функция зависит от одной переменной, уравнение в частных производных имеет бесконечное множество частных решений. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения нужного частного решения задаются дополнительные условия – начальные или граничные. Точно так же для нахождения нужного частного решения уравнения в частных производных должны быть заданы аналогичные условия. При этом, поскольку искомая функция зависит от двух переменных, эти дополнительные условия должны быть заданы по каждой переменной. Дополнительные условия по времени называются начальными условиями, а дополнительные условия по пространственной координате называются граничными условиями, вместе их называют краевыми условиями. Поскольку уравнение (2.5) имеет первый порядок по времени, то начальное условие только одно, и записывается оно в виде значения искомой функции в начальный момент времени

. (2.6)

Относительно дополнительных условий по пространственной координате x имеется гораздо большее разнообразие. А именно, существует три типа граничных условий: граничные условия 1-го, 2-го, 3-го рода. Сформулируем все три типа для одномерного уравнения теплопроводности и диффузии.

Граничные условия 1-го рода. В этом случае, на границе области, где изучается процесс, задается значение искомой функции (температуры или концентрации)

В одномерном случае граница состоит из двух частей, задаваемых уравнениями x = 0 и x = l, поэтому граничные условия запишутся так

или ,

где f₁(t), f₂(t) — заданные функции времени, а .

Граничные условия 2-го рода. Здесь на границе области задается не сама искомая функция, а ее тепловой или диффузионный поток. (Т.е. в случае граничных условиях 2-го рода задается производная искомой функции по направлению внешней нормали к поверхности). В соответствии с законами Фурье и Нернста граничное условие 2-го рода для одномерного случая имеет вид (отдельно для теплопроводности и диффузии)

и (2.7)

Граничные условия первого и второго рода называются однородными, если они равны нулю.

Физически однородные граничные условия второго рода означают тепловую изоляцию поверхности или ее непроницаемость для диффундирующего вещества.

Граничные условия 3-го рода. Это условие тепло- или массообмена с окружающей средой. Для теплопроводности процесс теплообмена описывается законом Ньютона – Рихмана, согласно которому количество теплоты, которое отдает или получает малый участок поверхности DS за малое время Dt, пропорционально разности температур поверхности и окружающей среды, т.е.

, (2.9)

где α – относительный коэффициент теплообмена [α]=кал/(см² сек град)], – точка на границе области.

С другой стороны, количество теплоты, которое переносится через тот же участок DS за то же время Dt определяется законом Фурье . Приравнивая, получаем

или

,

где h = – коэффициент теплообмена [h]=1/см].

В одномерном случае это будет

Однородные граничные условия третьего рода, когда температура окружающей среды равна нулю, имеет вид

Для диффузии граничные условия третьего рода записываются аналогично

Соответственно однородные граничные условия третьего рода, когда концентрация окружающей среды равна нулю, имеют вид

Ранее выведенные основные уравнения теплопроводности (диффузии) содержат пространственную переменную x и время t. Для этих уравнений рассмотрим модельные задачи на примере тонкого стержня или бесконечной пластины, когда . В краевую задачу входят следующие составляющие:

• уравнение теплопроводности вместе с областью определения уравнения по пространственным переменным и времени, причем только во внутренних точках областей для x и t;

• начальное условие для области по x берется из эксперимента;

• граничные условия при x = 0, x = l берутся из эксперимента.

Пример. В лаборатории изучается термическая прочность полимерной пластины, для чего нужно экспериментально установить время прогрева полимерной пластины в термостате при следующих условиях:

1. T₀ — начальная температура пластины;

2. нижняя плоскость пластины теплоизолирована, затем пластина помещается в термостат, где среда нагрета до температуры T₁>>T₀ ;

3. время прогрева пластины по толщине экспериментально фиксируется датчиком.

Но это же время можно рассчитать на «кончике пера» с помощью модельного представления данного процесса. Математическая модель этого процесса имеет вид