§2. Свойства преобразования Лапласа

1. Свойство линейности. Если и , то

Доказательство:

.

2. Свойство производной оригинала (теорема дифференцирования оригинала)

1) ;

2) ;

3) .

Доказательство. Проведем доказательство для производной первого порядка:

Замечание. Преобразование Лапласа заменяет дифференцирование оригинала на умножение изображения на переменную p с последующим вычитанием постоянной.

3. Изображение интеграла

Замечание. Если преобразование Лапласа заменяет дифференцирование оригинала на умножение изображения на переменную p, то интегрирование — на деление изображения на переменную p.

4. Дифференцирование изображения

1) ,

2) .

Доказательство:

Проведем доказательство для n = 1.

.

Для дифференцирования интеграла с постоянным параметром по параметру нужно продифференцировать по этому параметру подынтегральную функцию, тогда

5. Теорема смещения

Если , то .

Пример 5. Найти изображение .

Решение. В примере 4 было получено изображение sin βt, согласно этому , тогда, применяя теорему смещения, имеем

.

6. Теорема запаздывания оригинала

Если и , то при

.

Доказательство. Дано, что .

Найдем изображение

.

Выполним замену , тогда

.

Пример 6. Найти оригинал для изображения .

Решение. У изображения оригинал sin t. Согласно теореме запаздывания имеем .

7. Теорема подобия

Если , то для любого k > 0 .

8. Теорема о произведении изображений (о свертке оригиналов)

Произведение изображений соответствует свертке оригиналов, а именно

.

Замечание. Сверткой двух функций называется

.

Пример 7. Найти оригинал .

Решение. Нам известны оригиналы t и sin4t. По теореме о свертке имеем

.

Таким образом .

9. Теорема Ващенко-Захарченко

Если изображение является отношением двух многочленов, то оригинал будет находиться по формуле

где — корни уравнения (при условии, что все ).

Пример 8. Найти оригинал для .

Решение. 1) Разложим знаменатель на множители:

,

то есть, знаменатель имеет три корня: p₁ = 0, p₂ = 2, p₃ = 3.

2) Вычислим в точках p₁ = 0, p₂ = 2, p₃ = 3.

3) Найдем производную знаменателя: и вычислим ее значения в точках p₁ = 0, p₂ = 2, p₃ = 3.

4) По теореме Ващенко-Захарченко выпишем оригинал:

.

§3. Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием (задачу Коши)

.

Решение. Переходим к изображениям:

,

тогда уравнение примет вид , или

.

Разложим последнюю рациональную дробь на простейшие дроби:

и найдем A и B.

Числители дробей должны быть равны для всех p, т.е.

1 = A(p – 2) + B(p – 1) для любого p.

Полагая p = 1, получим –A = 1, т.е. A = –1;

при p = 2 имеем B = 1. Следовательно,

.

Возвращаясь к оригиналам, имеем .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Теорема о дифференцировании оригинала содержит его значение в нуле, поэтому запишем начальное условие в виде y(0)=M (где М–постоянная). Переходим к изображениям:

,

тогда уравнение примет вид .

Решая это алгебраическое уравнение, получим

Разложим последнюю рациональную дробь на простейшие дроби:

и найдем A, B и С.

Числители дробей должны быть равны для всех p, т.е.

для любого p.

Полагая p = –3, получим A = М+1, при p = 0 имеем С = 3, при p = 1 имеем В = –1. Следовательно,

.

Возвращаясь к оригиналам, имеем

.

Пример 3. Решить задачу Коши

Решение. Переходя к изображениям, получим:

p (p) + a (p) – y₀ = (p) или (p + a) (p) = (p) + y₀ .

Откуда .

Найдем оригинал, пользуясь таблицей 2 и теоремой о свертке

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

y″–2y′–3y = e^3t, если y(0) = 0, y′(0) = 0.

Решение. Переходим к изображениям:

или, с учетом начальных условий, отсюда имеем .

Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:

Числители этих дробей должны быть равны при всех p, т.е.

1=

Полагая p = –1, получаем 1 = 16C, т.е. C = 1/16; при p = 3 имеем 1 = 4A, т.е. A=1/4, при p = 0 имеем B=–1/16. Следовательно,

Откуда, переходя к оригиналам, получим

.

Пример 5. Решить интегральное уравнение

.

Решение. Переходим к изображениям (при этом используем теорему об интегрировании оригинала):

.

Решим это уравнение относительно : .

Найдем оригинал. Для этого применим теорему Ващенко-Захарченко:

1) Разложим знаменатель на множители

,

Таким образом, знаменатель имеет два корня: p₁ = 1; p₂ = –1.

2) Найдем производную знаменателя .

3) Выпишем оригинал

.

Пример 6. Найти операционное решение уравнения теплопроводности

Решение. Преобразование Лапласа — интегральное преобразование по переменной t, поэтому в пространстве изображений получим . Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами типа . Так как , то общее решение этого уравнения есть . Таким образом, имеем следующее операционное решение уравнения теплопроводности

.

Таблица 1. Основные правила операционного исчисления

	f(t)		Примечание
1.			Свойство линейности
2.			Изображение производной
3.
4.			Изображение интеграла
5.			Производная изобр.
6.			Интегрирование изображения
7.			Теорема смещения
8.			Теорема запаздывания
9.			Теорема подобия
10			Теорема о произведении изображений
11		если	Теорема Ващенко-Захарченко

Таблица 2. Изображение по Лапласу некоторых функций

	f(t)
1.	1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.