§6. Математическое моделирование

Суть математического моделирования заключается в следующем:

• формулируется некоторый закон, показывающий: как протекают изучаемые процессы на элементарном уровне;

• затем берется некоторый элементарный объем (дифференциальный объем) и на основе закона сохранения энергии (массы) выводится уравнение относительно некоторой физической величины. В теплопроводности это температурная функция, в диффузии — это функция концентрации диффундирующего вещества, в теории колебаний — это отклонение системы от положения равновесия и т.д.;

• после нахождения уравнения необходимо математически описать область, в которой идет процесс. Суть этого описания — конкретное тело в выбранной системе координат описывается с помощью математических соотношений, теперь мы уже имеем дело с некоторой областью (отвлекаемся от реального тела) либо на числовой оси, либо на плоскости, либо в пространстве,

• полученное дифференциальное уравнение теперь рассматривается именно в этой области;

• далее наступает момент постановки модельной задачи:

1. задается дифференциальное уравнение относительно искомой величины и область определения пространственных переменных и времени, входящих в это уравнение;

2. формулируется начальное условие, состоящее в задании искомой физической величины в начальный момент времени и ее значение на границе области. Эти данные берутся из эксперимента.

• После этого модельная задача считается поставленной и возникает новая проблема: как решить дифференциальное уравнение с заданными начальными и граничными условиями. Для этого существует специальный математический аппарат: чаще всего применяются различные интегральные преобразования по пространственным переменным, либо операционное исчисление (специальное интегральное преобразование по времени). С помощью одного из этих методов решается модельная задача, находится искомая физическая величина в нужных для исследования точках области, затем строятся кривые, соответствующие искомой физической величине и делается вывод о ходе протекания данного физического процесса.

Таков, в общих чертах, модельный метод изучения физических и химических процессов.

Часть 3. Метод интегральных преобразований

В теории теплопроводности твердых тел хорошо разработаны аналитические методы решения краевых задач для тел определенной геометрии, а именно для длинного тонкого однородного стержня и бесконечной пластины или для геометрических тел сферической или цилиндрической формы. Одним из этих аналитических методов является метод интегральных преобразований.

§1. Понятие интегральных преобразований в общем виде

Метод интегральных преобразований в общем виде состоит в том, что вместо неизвестной функции T(x,t), удовлетворяющей краевой задаче

(3.1)

мы ищем ее интегральное преобразование (изображение функции T(x,t)), задаваемое следующей формулой

, (3.2)

где — некоторая система ортогональных функций на отрезке [0,l], называемая ядром интегрального преобразования. Ядро интегрального преобразования подбирается так, что краевая задача (3.1) переходит в задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, решение которой легко найти. Найдя – решение задачи Коши, используют формулу обращения, позволяющую найти неизвестную функцию . Формула обращения имеет вид

. (3.3)

Выбор ядра — основная проблема решения задач теплопроводности этим методом, но вся эта работа уже проделана, и мы будем использовать уже готовые результаты, приведенные в таблицах Карташова. Однако выбор ядра не единственная проблема: дело в том, что формула (3.3) задает не саму функцию T(x,t), а ее разложение в ряд Фурье. Как известно ряд Фурье совпадает с раскладываемой функцией только во внутренних точках и, чтобы удовлетворялись еще и граничные условия, необходимо улучшить полученное решение, т.е. прибавить и вычесть указанные в таблице Карташова (прил.2) функции .