5.4. Расчет показателей работы систем массового обслуживания

Для промысла характерны системы массового обслуживания с неограниченным временем ожидания. Расчетные характеристики таких систем получают по специальным формулам с учетом следующих параметров системы.

Показатели системы:

 - интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу времени;

 - среднее число заявок, обрабатываемых за единицу времени;

- называется интенсивность обслуживания;

Р₀ – вероятность простоя всех обслуживающих аппаратов или системы;

Р_к – вероятность занятости К аппаратов обслуживания;

Р_n – вероятность занятости всех обслуживающих аппаратов, т.е. вероятность очереди;

m_s – средняя длина очереди, среднее количество промысловых судов ожидающих обработки;

t_ож – среднее время ожидания в очереди

- общая формула (5.3.3.)

При n=1 n=2

P₀=1- (5.3.4.)

- общая формула (5.3.5.)

При n=1 n=2

(5.3.6.)

- общая формула (5.3.7.)

При n=1 n=2

(5.3.8.)

- общая формула (5.3.9.)

При n=1 n=2

(5.3.10.)

- общая формула (5..3.11.)

Для оценки системы массового обслуживания, кроме показателей ее работы, необходимо учитывать различную стоимость простоя одного обслуживающего аппарата или заявки на обслуживание. При этом потери от простоя обслуживающих аппаратов или требований должны рассчитываться пропорционально вероятностям их простоя.

Для сравнения двух систем массового обслуживания с n=1 и n=2 при заданном , , С₁ и С₂ составляют таблицу расчетных величин входящих в формулы R и по значениям величин R₁ и R₂ определяют лучшую из систем.

Для анализа работы систем рассчитывают значения R₁ и R₂ с учетом возможных изменений как показателей работы системы, так и стоимостей простоя обслуживающих аппаратов без работы или заявок в очереди. В зависимости от назначений СМО обычно анализируются показатели их работы при увеличении интенсивности обслуживания и стоимости обслуживающих аппаратов.

Если рассчитывать потери системы в единицу времени, то формула имеет вид:

при n обслуживающих аппаратов:

R=n * P₀ * C₁+ (n-1)*C₁P₁+ (n-2)*C₁P₂+…+ (n-i)*C_iP_i+….+C₁ P_n-1+t_ож * m_s * P_n * C₂ (5.3.12.)

при n=1 обслуживающих аппаратов:

R₁ = P₀ * C₁ + t_ож * m_s * P_n * C₂ (5.3.13.)

при n=2 обслуживающих аппаратов:

R₂ = 2 * P₀ * C₁+ P₁* C₁+ t_ож * m_s * P_n * C₂ (5.3.14.)

где R – суммарные потери системы в единицу времени;

С₁ – потери от простоя одного обслуживающего аппарата;

С₂ – потери от простоя одного требования.

После выполнения всех расчетов, полученный результат проверяется на оптимальность. Анализ результата также проводится для определения тех показателей или исходных данных, которые определили результат. Заканчивают анализ проверкой зависимости результата от конкретных величин исходных данных, определением возможных изменений исходных данных, которые допустимы в конкретных условиях. Одновременно при этом определяются все особенности решения задачи: возможность усовершенствования расчетного алгоритма, адекватность математической модели реальным условиям промысла, чувствительность критерия эффективности к основным факторам и т.д.

Приведем пример расчета показателей работы системы массового обслуживания:

Даны следующие величины: Определить показатели работы

 = 11 системы массового обслуживания

 = 16 при n = 1 и n = 2 --- ?

С₁ = 700

С₂ = 1500

 = 0,69

По формулам (5.3.3.) – (5.3.10.) рассчитываем необходимые показатели и их значения сводим в нижеприведенную таблицу:

	Р0	Рn	Рк	ms	tож	R
n = 1	0.31	0.21	-----	1.51	0.14	285.77
n = 2	0.49	0.12	0.21	0.09	0.01	834.25

Из данной таблицы видно, что система массового обслуживания с числом обслуживающих аппаратов n = 1 выгоднее, так как потери системы в единицу времени у нее составляют R = 285,77 ед., что значительно меньше потерь системы с n = 2. Это обусловлено тем, что вероятность простоя всех обслуживающих аппаратов в системе с n=1 ниже, чем в системе с n = 2, к тому же вероятность очереди и ее длина в первой системе выше, а так как мы рассматриваем систему с неограниченным временем ожидания, то данное соотношение параметров двух систем и делает первую из них наиболее выгодной.

Если поменять в условии задачи местами значения потерь С₁ и С₂, то потери систем примут следующие величины:

при n=1 : R₁ = 500,03

при n=2 : R₂ = 1787,44

Как видно – и в этом случае первая система остается выгоднее, но разница в потерях систем становится еще более заметной.

Рассмотрим решение этой же задачи, но увеличим скорость обслуживания () и стоимость простоя одного обслуживающего аппарата (С₁) в 2(два) раза.

Даны следующие величины: Определить показатели работы

 = 11 системы массового обслуживания

 = 32 при n = 1 и n = 2 --- ?

С₁ = 1400

С₂ = 1500

 = 0,34

Также по формулам (4.2.1.) – (4.2.6.) рассчитываем необходимые показатели:

	Р0	Рn	Рк	ms	tож	R
n = 1	0,66	0,23	---	0,18	0,02	919,75
n = 2	0,71	0,04	0,23	0,01	0,00	2294,49

В данном случае видно, что система массового обслуживания с числом обслуживающих аппаратов n = 1 также выгоднее, так как потери системы в единицу времени у нее составляют R = 919,75 ед., что значительно меньше потерь системы с n = 2. Это обусловлено теми же соотношениями, что и при  = 16.

Изменение показателей работы систем обусловлено тем, что резко повысилась скорость обработки заявок в единицу времени, а соответственно повысилась и интенсивность обслуживания, так чем ближе  подходит к нулю, тем выше интенсивность обслуживания.

Если также поменять в условии задачи местами значения потерь С₁ и С₂, то потери систем примут следующий вид:

при n=1 : R₁ = 985,31

при n=2 : R₂ = 2458,38

Первая система по-прежнему остается выгоднее, но разница в потерях систем несущественная, потому что С₁ и С₂ различаются всего на 100 условных единиц.