Основные характеристики функций
1.Четность функции.
Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются условия:
а) 
,
б) f (–x) = f (x).
График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|.
Рис.2
График четной функции
Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства: 1) , 2) f (–x) = –f (x).
Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x3.
Если функция не четная и не нечетная, то это функция общего вида.
Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.
Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).
2. Монотонность функции
Пусть
функция y=f(x)
определена на множестве D
и пусть
.
Если для любых значений
аргументов из неравенства
вытекает неравенство
,
то функция называется возрастающей
на множестве
;
, то функция называется неубывающей
на
множестве
;
,
то функция называется убывающей
на множестве
;
,
то функция называется невозрастающей
на
множестве
.
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными.
3. Ограниченность функций
Функцию
y=f(x),
определенную
на множестве D,
называют ограниченной
на этом множестве, если существует такое
число М>0,
что для всех
выполняется неравенство
.
В противном случае функция является
неограниченной.
Например,
y = sin x
и y = cos x
– ограниченные функции, а
и
– неограниченные
функции.
4.Периодичность функции
Функцию
y=f(x),
определенную
на множестве D,
называют периодической
на этом множестве, если существует такое
число Т>0,
что при каждом
значение
и
.
При этом число Т
называется периодом
функции. Так, для y = sin x
периодами будут числа
Обратная функция
Пусть
задана функция y=f(x)
областью
определения
D
и множеством значений Е.
Если каждому значению
соответствует единственное значение
,
то определена функция
с областью определения Е
и множеством значений D
(см. рис. 3). Такая функция
называется
обратной
к функции
и записывается в виде:
.
Рис. 3.
Пример: Для функции y=2x обратной функцией является x=y/2.
Графики
взаимно обратных функций y=f(x)
и
симметричны
относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов.
Сложная функция
Пусть
функция y=f(u)
определена на множестве D,
а функция
на
множестве D1,
причем для любого
соответствующее значение
.
Тогда на множестве D1
определена функция
,
которая называется сложной
функцией
от x
(или суперпозицией
заданных функций).
Например,
функция
есть
суперпозиция двух функций
и
.