Примеры решения задач
1. Выполнить деление многочлена P(x) = x4 +4x3 – 4x2 + x + 1 на многочлен Q(x) = x2 +2x + 1 уголком.
Решение:
Выполним деление углом.
_x4 + 4x3 – 4x2 + x + 1 x2 +2x + 1
x4 + 2x3 + x2
_2x3 – 5x2 + x x2 + 2x – 9
2x3 + 4x2 + 2x
_- 9x2 – x + 1
- 9x2 – 18x – 9
17 x + 10
Процесс деления закончен, так как степень остатка меньше степени делителя. Можно записать:
x4 + 4x3 – 4x2 + x + 1 = (x2 +2x + 1)( x2 + 2x – 9) +17 x + 10.
Ответ: x4 + 4x3 – 4x2 + x + 1 = (x2 +2x + 1)( x2 + 2x – 9) +17 x + 10.
2.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
Решение:
Выполним деление углом.
_x3 – 1 x + 1
x3 + x2 x2 – x + 1
_-
x2
– 1
- x2 – x
_x – 1
x + 1
- 2
Отсюда получаем x3 – 1 = ( x + 1)(x2 – x + 1) – 2. Частное S(x) = x2 – x + 1, остаток R(x) = - 2.
Ответ:
.
3. Найти частное от деления многочлена P(x)= x4 +4x3 – 4x2 + x + 1 на многочлен Q(x)=x2+2x+1 методом неопределённых коэффициентов.
Решение:
x4 +4x3 – 4x2 + x + 1 = (x2 +2x + 1)(ax2 + bx + c) + dx + e
x4 +4x3 – 4x2 + x + 1 = ax4 +(2a + b)x3 +(c + 2b + a)x2 +(b + d + 2c)x + e + c
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
Получаем
x4 + 4x3 – 4x2 + x + 1 = (x2 +2x + 1)( x2 + 2x – 9) +17 x + 10.
4. Найти остаток от деления многочлена P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 на Q(x) = x – 2
Решение:
На основании теоремы Безу R(x) = P(2) = 8 + 12 + 6 +1 = 27.
5. Найти остаток от деления многочлена P(x) = 3x3 – 2x2 + 6x – 4 на Q(x) = 3x – 2
Решение:
На
основании теоремы Безу
.
Значит значение
корень многочлена.
Задачи для работы в аудитории
1. Выполнить сложение и вычитание многочленов
а)P(x) = 3x2+2x-4 и Q(x) = -3x2+5x+2
б)P(x) = 4x2+x-8 и Q(x) = 2x3-x+4
в)P(x) = x5-2x3+x-1 и Q(x) = 3x4+x2.
2. Выполнить умножение многочленов
а) P(x) =x3-3x2+3 и Q(x) = 5x-2
б) P(x) = -x2+2x-4 и Q(x) = 2x3-x2+x.
3.Выполнив деление уголком, представить многочлен P(x) в виде равенства P(x) = Q(x)S(x) + R(x).
а) Р(х)=х4+6х3-3х2-х+1, Q(x)=x2-2x+3
б) Р(х)=-2х5+х+1, Q(x)=x-1.
4. Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления P(x) на Q(x). Выполнить проверку, используя деление «углом».
P(x) = х4-х3+3х2+2,Q(x) = х2-х+2.
5. При каких а многочлен Р(х) при делении на Q(x) дает остаток R, если
Р(х) = 5х4 + (а-2)х3-3ах + 7, Q(x) = х + 1, R = 16.
6.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
7. Выделить полный квадрат
а) х2-4х+4 б) х2+5х-6 в) 2х2-4х+11 г) 3х2+7х-1 .
8. Разложить на множители квадратный трехчлен
а) х2+5х-6 б) 4х2-х-3 в) х2-х-90 г) 2х2-7х+6.
Задачи для самостоятельных занятий
1. Найти сумму, разность и произведение многочленов
a) P(x) = 3x3-5x2-1 и Q(x) = x4-x3-7x2+13x-6
б) P(x) = 2x4+7x3-2x2-13x+6 и Q(x) = 2x3+5x2-x-1.
2. Упростить
а) (x+1)(x+2)(x+5)(x+4) б) 2(x-1)(x+2)(x-1/2)(x+3).
3. Выполнив деление уголком, представить многочлен P(x) в виде равенства P(x) = Q(x)S(x) + R(x).
P(x)=-3x5-4x4+24x3-15x2+x-2, Q(x)=x2+2x-7.
4. Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления P(x) на Q(x). Выполнить проверку, используя деление «углом».
P(x) = 5х4-х3-х-4, Q(x) = х2-4.
5. При каких а многочлен Р(х) при делении на Q(x) дает остаток R, если
Р(х) = х4-ах3 + 4х2-х + 1, Q(x) = х-2, R = 7.
6.
Представить рациональную дробь
в виде суммы целой части и правильной
дроби.
7. Выделить полный квадрат
а) х2-6х+8 б) х2+3х-40 в) 4х2-3х-22 г) 3х2+5х-6 .
8. Разложить на множители квадратный трехчлен
а) х2+5х-8 б) 3х2-13х+4 в) 9х2-4х-2 г) 7х2+18х+5.