Примеры решения задач
Решить уравнение
.
Решение:
Чтобы
проверить наличие целых корней этого
уравнения, выпишем все делители его
свободного члена:
.
Подставляя по очереди эти числа в левую
часть уравнения, находим, что числа
и
являются корнями уравнения, т.е. корнями
многочлена
.
Многочлен P(x)
делится на х-1 и на х-2. Значит, Р(х) делится
и на их произведение (х-1)(х-2)=х2-3х+2.
Выполним деление углом.
_x4 + 2x3 - 11x2 + 4x + 4 x2-3x+2
x4 - 3x3 + 2x2
_5x3 – 13x2 +4х x2 + 5x +2
5x3 -15x2 + 10x
_ 2x2–6x + 4
2х2- 6х+4
0
Значит, многочлен Р(х) можно записать в виде
Р(х)=(х-1)(х-2)(х2+5х+2). Итак, первоначальное уравнение равносильно совокупности уравнений х-1=0, х-2=0, х2+5х+2=0.
Решая
каждое из этих уравнений, находим решение
исходного уравнения:
,
,
.
2.
Рассмотрим два примера на применение
метода интервалов
3.
Сократите
дробь:
.
Решение:
Находим
нули числителя: х1=-1
и х2=
.
Находим
нули знаменателя: х3=1
и х4=
.
Разложив на множители числитель и знаменатель, получим:
.
6.
Изобразить схематически график функции
.
Решение:
Найдем нули числителя и нули знаменателя:
Числитель обращается в ноль в точках х=0 и х=4. Знаменатель обращаетя в ноль при х=-3. Так как на ноль делить нельзя, прямая х=-3 будет являться вертикальной асимптотой графика функции.
Найдем промежутки знакопостоянства:
7. По известным промежуткам знакопостоянства восстановить функцию.
Решение:
В точках х=5 и х= - 2 функция существует и равна нулю. Это значит, при разложении функции на множители будут присутствовать множители (х-5)2(х+2). Множитель (х-5) записан в квадрате, потому что при переходе через корень х=5
Функция не поменяла свой знак. Но с тем же успехом, вместо второй мы могли использовать любую чётную степень.
Функция не существует при х=-3 и х=2. И при переходе через эти точки функция меняет знак. Это значит, что множители
(х+3) и (х-2) располагаются в знаменателе, причем каждый из них может быть в любой нечетной степени, например (х+3)(х-2)3.
Попытаемся
составить функцию:
,
но так как при
составленная нами функция
,
а судя по данным в условии промежуткам
знакопостоянства при
,
функция должна быть отрицательная,
следовательно, мы должны изменить её
знак :
.
Задачи для работы в аудитории
1. Решите уравнение, используя метод разложения на множители:
а)
;
б)
;
в)
2. Решите уравнение.
а)
б)
3. Сократить дробь
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4.
Пусть
.
Решить
неравенство: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5. Решить неравенства методом интервалов:
а)
;
б)
;
в)
.
6. Изобразить схематически график функции.
а)
;
б)
.
7. По известным промежуткам знакопостоянства восстановить функцию.
а)
б)
в)
Ответы к задачам для работы в аудитории
1.a)
;
б)
;
в)
.
2.а)
б)
.
3.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4.
;
;
;
.
5.
а)
;
б)
;
в)
.
6.а)
6.
б)
7.
7.
а)
;
б)
;
в)
.
Задачи для самостоятельных занятий
1. Решите уравнение, используя метод разложения на множители:
а)
;
б)
;
б)
.
2. Решите уравнение.
a)
;
б) 4х4-16х3+21х2-11х+2=0.
3. Сократить дробь
а)
;
б)
;
в)
.
4.
Пусть
.
Решить неравенство: а) ; б) ; в) ; г) .
5. Решить неравенства методом интервалов:
а)
;
б)
;
в)
.
6. Изобразить схематически график функции.
а)
;
б)
.
7. По известным промежуткам знакопостоянства восстановить функцию.
а)
б)
в)
Ответы к задачам для самостоятельных занятий
1.a)
;
б)
;
в)
.
2.а)
;б)
.
3.
а)
;
б)
;
в)
.
4.
;
;
;
.
5.
а)
;
б)
;
в)
.
6. а)
6.
б)
7.
а)
;
б)
;
в)
.
4 Задача для аттестационной работы 7 вариантов.
Решить неравенство
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
Ответы к 4 задаче аттестационной работы.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
7.
.
ЗАНЯТИЕ 5
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Необходимые сведения из теории
Натуральной
степенью действительного числа
называется действительное число,
получаемое в результате умножения числа
на себя
раз
,
где
основание
степени,
показатель
степени (натуральное число).
Показательной
называется функция вида
,
где
постоянное
положительное число отличное от единицы.
Ее областью определения является
множество всех действительных чисел.
Показательная функция монотонно
возрастает при
и монотонно убывает при
.
Для решения практических задач необходимо
знать следующие свойства степеней и
радикалов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
График показательной функции :
Пример:
Логарифмом
положительного числа
по положительному и не равному единице
основанию
называется показатель степени, в которую
нужно возвести основание
,
чтобы получить число
.
Обозначается
.
Логарифмической
называется функция вида
,
где а
- постоянное
положительное число отличное от единицы.
Ее областью определения является
множество всех положительных чисел
(
).
Логарифмическая функция монотонно
возрастает при
и монотонно убывает при
.
Показательная и логарифмическая функции
являются взаимно обратными. Показательная
функция характеризует изменение степени
в зависимости от изменения показателя
степени, а логарифмическая функция
наоборот -
изменение показателя степени в зависимости
от изменения степени. Свойства логарифмов:
1.Основное
логарифмическое тождество:
(
)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(формула перехода к новому основанию)
9.
График логарифмической функции:
Пример: Установить соответствие графиков и функций.
Наиболее
часто используемыми на практике являются
десятичный логарифм
и натуральный логарифм
Показательными называются уравнения и неравенства содержащие переменную в показателе степени, а логарифмическими - под знаком логарифма или в основании логарифма. При решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств необходимо учитывать следующие правила:
1.
Показательное уравнение
равносильно уравнению
,
где
.
2.
При
показательное неравенство
равносильно
неравенству
.
3.
При
показательное неравенство
равносильно
неравенству
.
4.
Простейшее логарифмическое уравнение
решается
потенцированием:
5.
Логарифмическое уравнение
равносильно уравнению
,
где
и
.
Данные неравенства определяют ОДЗ
переменной x
исходного уравнения, поэтому полученные
в результате решения корни уравнения
должны удовлетворять этим неравенствам
(необходимо делать проверку).
6.
При
логарифмическое неравенство
равносильно неравенству
,
где
и
,
т.е. сводится к решению системы
7. При логарифмическое неравенство равносильно неравенству , где и , т.е. сводится к решению системы
Рассмотрим основные методы решения показательных и логарифмических уравнений.